【題目】如圖1,Rt△ACB 中,∠C=90°,點D在AC上,∠CBD=∠A,過A、D兩點的圓的圓心O在AB上.

(1)利用直尺和圓規(guī)在圖1中畫出⊙O(不寫作法,保留作圖痕跡,并用黑色水筆把線條描清楚);
(2)判斷BD所在直線與(1)中所作的⊙O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(3)設(shè)⊙O交AB于點E,連接DE,過點E作EF⊥BC,F(xiàn)為垂足,若點D是線段AC的黃金分割點(即 = ),如圖2,試說明四邊形DEFC是正方形).

【答案】
(1)解:如圖1,⊙O為所作;


(2)解:BD與⊙O相切.理由如下:

連接OD,如圖1,

∵OA=OD,

∴∠A=∠ODA,

∵∠CBD=∠A,

∴∠CBD=∠ODA,

∵∠C=90°,

∴∠CBD+∠CDB=90°,

∴∠ODA+∠CDB=90°,

∴∠ODB=90°,

∴OD⊥BD,

∴BD為⊙O的切線;


(3)解:∵∠CBD=∠A,∠DCB=∠BCA,

∴△CDB∽△CBA,

∴CD:CB=CB:CA,

∴CB2=CDCA,

∵點D是線段AC的黃金分割點,

∴AD2=CDAC,

∵AD=CB,

∵AE為直徑,

∴∠ADE=90°,

在△ADE和△BCD中

,

∴△ADE≌△BCD,

∴DE=DC,

∵EF⊥BC,

∴∠EFC=90°,

∴四邊形CDEF為矩形,

∴四邊形DEFC是正方形.


【解析】(1)過A、D的圓圓心在AD的垂直平分線上,由交軌法,必在此線與AB的交點處;(2)要證相切,須連結(jié)半徑,再證∠ODB=90°,可利用已知的∠C=90°,∠CBD=∠A即可證出;(3)由(2)中的△CDB∽△CBA可得CB2=CDCA,由已知“點D是線段AC的黃金分割點”可得AD2=CDAC,兩式比較可得AD=CB,進而證得全等,所以DE=DC,易證四邊形CDEF為矩形,即可證得四邊形DEFC是正方形.

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①共有10人得6分;

②得5分和7分的人數(shù)一樣多;

8名選手的成績高于8分;

④共有25名選手參賽.

其中正確的有(  )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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組別

次數(shù)x

頻數(shù)(人)

第1組

80≤x<100

6

第2組

100≤x<120

a

第3組

120≤x<140

12

第4組

140≤x<160

a+10

第5組

160≤x<180


請結(jié)合圖表完成以下問題.
(1)求出表中的a;
(2)補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)若x≥140為優(yōu)良,該校九年級有450名學(xué)生,請估計跳繩成績達到優(yōu)良的學(xué)生約有多少人?

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A.
B.2
C.
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A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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(1)判斷直線DC與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若HB=2,cosD= ,請求出AC的長.

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