【題目】對任意一個正整數(shù)m,如果m=k(k+1),其中k是正整數(shù),則稱m為“矩數(shù)”,k 為m的最佳拆分點.例如,56=7×(7+1),則56是一個“矩數(shù)”,7為56的最佳拆分點.
(1)求證:若“矩數(shù)”m是3的倍數(shù),則m一定是6的倍數(shù);
(2)把“矩數(shù)”p與“矩數(shù)”q的差記為 D(p,q),其中p>q,D(p,q)>0.例如,20=4×5,6=2×3,則 D(20,6)=20﹣6=14.若“矩數(shù)”p的最佳拆分點為t,“矩數(shù)”q的最佳拆分點為s,當 D(p,q)=30時,求 的最大值.
【答案】
(1)證明:若“矩數(shù)”m=k(k+1)是3的倍數(shù),則k(k+1)是3的倍數(shù),k是正整數(shù),
當k為奇數(shù)時,k+1是偶數(shù),則k(k+1)是能被3整除的偶數(shù),故k(k+1)是6的倍數(shù);
當k為偶數(shù)時,則k(k+1)是能被3整除的偶數(shù),故k(k+1)是6的倍數(shù),
綜上所述,若“矩數(shù)”m是3的倍數(shù),則m一定是6的倍數(shù)
(2)解:根據(jù)題意得p=t(t+1),q=s(s+1),D(p,q)=t(t+1)﹣s(s+1)=30,
即t2+t﹣s2﹣s=30,
∴(t﹣s)(t+s+1)=30,
∵t,s是正整數(shù),t>s,
∴t﹣s,t+s+1是正整數(shù),且t+s+1>t﹣s,
∵30=1×30=2×15=3×10=5×6,
∴ 或 或 或 ,
解得: 或 或 或 ,
∵t,s是正整數(shù),
∴符合條件的是: 或 或 ,
∴ 或 = 或 = ,
∵ ,
∴ 的最大值是
【解析】(1)連續(xù)的兩個整數(shù)必是一奇數(shù),一偶數(shù),可分類證明;(2)可把新定義的規(guī)則轉(zhuǎn)化為已知的規(guī)則,用已知代數(shù)式表示新運算法則,根據(jù)30的因數(shù)分解規(guī)則,求出最大值.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解因式分解的應用的相關知識,掌握因式分解是整式乘法的逆向變形,可以應用與數(shù)字計算、求值、整除性問題、判斷三角形的形狀、解方程.
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【題目】二次函數(shù) ,自變量x與函數(shù)y的對應值如下表:
x | … | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | … |
y | … | 4 | 0 | -2 | -2 | 0 | 4 | … |
下列說法正確的是( )
A.拋物線的開口向下
B.當x>-3時,y隨x的增大而增大
C.二次函數(shù)的最小值是-2
D.拋物線的對稱軸x=
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【題目】位于南岸區(qū)黃桷埡的文峰塔,有著“平安寶塔”之稱.某校數(shù)學社團對其高度 AB進行了測量.如圖,他們從塔底A的點B出發(fā),沿水平方向行走了13米,到達點C,然后沿斜坡CD繼續(xù)前進到達點D處,已知DC=BC.在點D處用測角儀測得塔頂A的仰角為42°(點A,B,C,D,E在同一平面內(nèi)).其中測角儀及其支架DE高度約為0.5米,斜坡CD的坡度(或坡比)i=1:2.4,那么文峰塔的高度AB約為( )(sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90)
A.22.5 米
B.24.0 米
C.28.0 米
D.33.3 米
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,AB∥OC,A(0,﹣4),B(a,b),C(c,0),并且a,c滿足c=+10.一動點P從點A出發(fā),在線段AB上以每秒2個單位長度的速度向點B運動;動點Q從點O出發(fā)在線段OC上以每秒1個單位長度的速度向點C運動,點P,Q分別從點A,O同時出發(fā),當點P運動到點B時,點Q隨之停止運動,設運動時間為t(秒).
(1)求B,C兩點的坐標;
(2)當t為何值時,四邊形PQCB是平行四邊形?
(3)點D為線段OC的中點,當t為何值時,△OPD是等腰三角形?直接寫出t的所有值.
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【題目】從﹣4,﹣3,﹣2,﹣1,0,1,3,4,5這九個數(shù)中,隨機抽取一個數(shù),記為a,則數(shù)a使關于x的不等式組至少有四個整數(shù)解,且關于x的分式方程=1有非負整數(shù)解的概率是( 。
A.B.C.D.
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【題目】為響應“雙十二購物狂歡節(jié)”活動,某零食店推出了甲、乙、丙三類餅干禮包,已知甲、乙、丙三類禮包均由、、三種餅干搭配而成,每袋禮包的成本均為、、三種餅干成本之和.每袋甲類禮包有5包種餅干、2包種餅干、8包種餅干;每袋丙類禮包有7包種餅干、1包種餅干、4包種餅干.已知甲每袋成本是該袋中種餅干成本的3倍,利潤率為,每袋乙的成本是其售價的,利潤是每袋甲利潤的;每袋丙禮包利潤率為.若該網(wǎng)店12月12日當天銷售甲、乙、丙三種禮包袋數(shù)之比為,則當天該網(wǎng)店銷售總利潤率為__________.
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【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,點M為BA延長線上一點,∠ABC的平分線BE和∠CAM的平分線AD相交于點P,分別交AC和BC的延長線于E,D.過P作PF⊥AD交AC的延長線于點H,交BC的延長線于點F,連接AF交DH于點G,則下列結論:①∠APB=45°;②PF=PA;③DG=AP+GH;④BD﹣AH=AB.其中正確的是_____(填序號).
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【題目】如圖,一個長5m的梯子AB,斜靠在一豎直的墻AO上,這時AO的距離為4m,如果梯子的頂端A沿墻下滑1m至C點.
(1)求梯子底端B外移距離BD的長度;
(2)猜想CE與BE的大小關系,并證明你的結論.
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