Question

12．如圖，邊長為$\sqrt{3}$的等邊△ABC中，D、E分別為AB、BC上的點，且DB=$\sqrt{2}$，將線段ED繞E點順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EF，連CF．當(dāng)∠FCB=30°時，CE的長為$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 作FK∥AC交BC于K，由△BDE≌△KEF得BE=FK=KC即可解決問題．

解答 解：作FK∥AC交BC于K，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=$\sqrt{3}$，∠B=∠CB=60°，
∵FK∥AC，
∴∠FKE=∠ACB=60°，
∵∠FCB=30°，∠FKE=∠FCK+∠KFC，
∴∠FCK=∠KFC，
∴KF=KC，
∵∠DEC=∠B+∠BDE，∠DEC=∠DEF+∠FEK，∠DEF=∠B=60°，
∴∠BDE=∠FEK，
在△BDE和△KEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠FKE}\\{∠EDB=∠KEF}\\{DE=EF}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△KEF，
∴EK=BD=$\sqrt{2}$，BE=FK=KC，
∵AB=AC=$\sqrt{3}$，
∴BE=KC=$\frac{1}{2}$（BC-EK）=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）
∴CE=BC-BE=$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)不變性等知識，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．