【題目】已知,點O是等邊△ABC內(nèi)的任一點,連接OA,OB,OC.
(1)如圖1,已知∠AOB=150°,∠BOC=120°,將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC.
①∠DAO的度數(shù)是多少?
②用等式表示線段OA,OB,OC之間的數(shù)量關系,并證明;
(2)設∠AOB=α,∠BOC=β.
①當α,β滿足什么關系時,OA+OB+OC有最小值?請在圖2中畫出符合條件的圖形,并說明理由;
②若等邊△ABC的邊長為1,直接寫出OA+OB+OC的最小值.
【答案】
(1)
解:①∠AOB=150°,∠BOC=120°,
∴∠AOC=360°﹣120°﹣150°=90°,
∵將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC,
∴∠OCD=60°,∠D=∠BOC=120°,
∴∠DAO=360°﹣∠AOC﹣∠OCD﹣∠D=90°,
故答案為:90°;
②線段OA,OB,OC之間的數(shù)量關系是OA2+OB2=OC2,
如圖1,連接OD,
∵△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC,
∴△ADC≌△BOC,∠OCD=60°,
∴CD=OC,∠ADC=∠BOC=120°,AD=OB,
∴△OCD是等邊三角形,
∴OC=OD=CD,∠COD=∠CDO=60°,
∵∠AOB=150°,∠BOC=120°,
∴∠AOC=90°,
∴∠AOD=30°,∠ADO=60°,
∴∠DAO=90°,
在Rt△ADO中,∠DAO=90°,
∴OA2+OB2=OD2,
∴OA2+OB2=OC2
(2)
解:①當α=β=120°時,OA+OB+OC有最小值.
如圖2,將△AOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△A′O′C,連接OO′,
∴△A′O′C≌△AOC,∠OCO′=∠ACA′=60°,
∴O′C=OC,O′A′=OA,A′C=BC,
∠A′O′C=∠AOC.
∴△OC O′是等邊三角形,
∴OC=O′C=OO′,∠COO′=∠CO′O=60°,
∵∠AOB=∠BOC=120°,
∴∠AOC=∠A′O′C=120°,
∴∠BOO′=∠OO′A′=180°,
∴四點B,O,O′,A′共線,
∴OA+OB+OC=O′A′+OB+OO′=BA′時值最。
②∵∠AOB=∠BOC=120°,
∴∠AOC=120°,
∴O為△ABC的中心,
∵四點B,O,O′,A′共線,
∴BD⊥AC,
∵將△AOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△A′O′C,
∴A′C=AC=BC,
∴A′B=2BD,
在Rt△BCD中,BD= BC= ,
∴A′B= ,
∴當?shù)冗叀鰽BC的邊長為1時,OA+OB+OC的最小值A′B= .
【解析】(1)①根據(jù)周角的定義得到∠AOC=360°﹣120°﹣150°=90°,由于將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC,于是得到∠OCD=60°,∠D=∠BOC=120°,根據(jù)四邊形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論;②如圖1,連接OD,由于△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC,得到△ADC≌△BOC,∠OCD=60°,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=OC,∠ADC=∠BOC=120°,AD=OB,推出△OCD是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到OC=OD=CD,∠COD=∠CDO=60°,由于∠AOB=150°,∠BOC=120°,得到∠AOC=90°,求得∠AOD=30°,∠ADO=60°,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論;(2)①如圖2,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到O′C=OC,O′A′=OA,A′C=BC,∠A′O′C=∠AOC..推出△OC O′是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到OC=O′C=OO′,∠COO′=∠CO′O=60°,由于∠AOB=∠BOC=120°,得到∠AOC=∠A′O′C=120°,推出四點B,O,O′,A′共線,即可得到結(jié)論,②根據(jù)①的結(jié)論即可得到結(jié)果.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)軸上兩點A,B對應的數(shù)分別為﹣1、3,點P為數(shù)軸上一動點.
(1)若點P到點A、點B的距離相等,寫出點P對應的數(shù) ;
(2)若點P到點A,B的距離之和為6,那么點P對應的數(shù) ;
(3)點A,B分別以2個單位長度/分、1個單位長度/分的速度向右運動,同時P點以6個單位長度/分的速度從O點向左運動.當遇到A時,點P立刻以同樣的速度向右運動,并不停地往返于點A與點B之間,求當點A與點B重合時,點P所經(jīng)過的總路程是多少?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校九年級兩個班,各選派名學生參加學校舉行的“漢字聽寫”大賽預賽,各參賽選手的成績?nèi)缦拢?/span>
班:,,,,,,,,,
班:,,,,,,,,,
通過整理,得到數(shù)據(jù)分析表如下:
班級 | 最高分 | 平均分 | 中位數(shù) | 眾數(shù) | 方差 |
班 | |||||
班 |
直接寫出表中、、的值;
依據(jù)數(shù)據(jù)分析表,有人說:“最高分在班,班的成績比班好”,但也有人說班的成績要好,請給出兩條支持班成績好的理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖:在數(shù)軸上A點表示數(shù)a,B點示數(shù)b,C點表示數(shù)c,b是最小的正整數(shù),且a,b滿足 +(c-7)2=0.
(1) a= ,b= ,c= .
(2) 若將數(shù)軸折疊,使得A點與C點重合,則點B與數(shù) 表示的點重合.
(3) 點A,B,C開始在數(shù)軸上運動,若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動,同時,點B和點C分別以每秒2個單位長度和4個單位長度的速度向右運動,假設t秒鐘過后,若點A與點B之間的距離表示為AB,點A與點C之間的距離表示為AC,點B與點C之間的距離表示為BC.則AB= ,AC= ,BC= .(用含t的代數(shù)式表示)
(4) 請問:3BC-2AB的值是否隨著時間t的變化而改變? 若變化,請說明理由;若不變,請求其值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】根據(jù)下列要求,解答相關問題.
請補全以下求不等式﹣2x2﹣4x>0的解集的過程.
①構(gòu)造函數(shù),畫出圖象:根據(jù)不等式特征構(gòu)造二次函數(shù)y=﹣2x2﹣4x;并在下面的坐標系中(圖1)畫出二次函數(shù)y=﹣2x2﹣4x的圖象(只畫出圖象即可).
②求得界點,標示所需,當y=0時,求得方程﹣2x2﹣4x=0的解為多少?;并用鋸齒線標示出函數(shù)y=﹣2x2﹣4x圖象中y>0的部分.
③借助圖象,寫出解集:由所標示圖象,可得不等式﹣2x2﹣4x>0的解集為﹣2<x<0.請你利用上面求一元一次不等式解集的過程,求不等式x2﹣2x+1≥4的解集.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,AB=AC,點D在邊BC所在的直線上,過點D作DF∥AC交直線AB于點F,DE∥AB交直線AC于點E.
(1)當點D在邊BC上時,如圖①,求證:DE+DF=AC.
(2)當點D在邊BC的延長線上時,如圖②;當點D在邊BC的反向延長線上時,如圖③,請分別寫出圖②、圖③中DE,DF,AC之間的數(shù)量關系,不需要證明.
(3)若AC=6,DE=4,則DF= .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為滿足同學們課外閱讀的需求,某中學圖書館向出版社郵購科普系列圖書,每本書單價為16元,書的價錢和郵費是通過郵局匯款,相關的書價折扣、郵費和匯款的匯費如下表所示(總費用=總書價+總郵費+總匯費)
購書數(shù)量 | 折扣 | 郵費 | 匯費 |
不超過10本 | 九折 | 6元 | 每100元匯款需匯費1元 (匯款不足100元時按100元匯款收匯費) |
超過10本 | 八折 | 總書價的10% | 每100元匯款需匯費1元 (匯款不足100元的部分不收匯費) |
(1)若一次郵購7本,共需總費用為 元.
(2)已知學校圖書館需購圖書的總數(shù)是10的整倍數(shù),且超過10本.
①若分次郵購,分別匯款,每次郵購10本,總費用為1064元時,共郵購了多本圖書?
②若你是學校圖書館負責人,從節(jié)約的角度出發(fā),在“每次郵購10本“與“一次性郵購”這兩種方式中選擇一種,你會選擇哪一種?計算并說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知等邊△ABC的邊長為4cm,點P,Q分別從B,C兩點同時出發(fā),其中點P沿BC向終點C運動,速度為1cm/s;
點Q沿CA,AB向終點B運動,速度為2cm/s,設它們運動的時間為x(s),
(1)如圖(1),當x為何值時,PQ∥AB;
(2)如圖(2),若PQ⊥AC,求x;
(3)如圖(3),當點Q在AB上運動時,PQ與△ABC的高AD交于點O,OQ與OP是否總是相等?請說明理由.
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