【題目】在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.動點M、N分別在兩腰AB、AC上(M不與A、B重合,N不與A、C重合),且MN∥BC.將△AMN沿MN所在的直線折疊,使點A的對應點為P.

(1)當MN為何值時,點P恰好落在BC上?

(2)當MN=x,△MNP與等腰△ABC重疊部分的面積為y,試寫出yx的函數(shù)關(guān)系式.當x為何值時,y的值最大,最大值是多少?

【答案】(1)MN=3時,點P恰好落在BC上;(2)x=4時,y的值最大,最大值是4.

【解析】

(1)連接AP,交MNO,△AMN∽△ABC,AO⊥MN,,MN即可;(2)過點AAD⊥BCD,交MNO,△AMN∽△ABC,P⊥BC,△AMN∽△ABC,△PEF∽△PMN∽△AMN,利用相似性質(zhì)得y=S梯形MNFE=(EF+MN)OD=×(2x﹣6+x)×(4﹣x)=﹣(x﹣4)2+4,求函數(shù)最值即可.

解:(1)連接AP,交MNO,

△AMN沿MN所在的直線折疊,使點A的對應點為P,

∴OA=OP,AP⊥MN,AN=PN,AM=PM,

∵MN∥BC,

∴△AMN∽△ABC,AO⊥MN,

,

∵BC=6,

∴MN=3,

MN=3時,點P恰好落在BC上;

(2)過點AAD⊥BCD,交MNO,

∵MN∥BC,

∴AO⊥MN,

∴△AMN∽△ABC,

,

∵AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC,

∴∠ADB=90°,BD=BC=3,

∴AD=4,

∴AO=x,

∴SAMN=MNAO=xx=x2

AO≤AD時,

根據(jù)題意得:SPMN=SAMN

∴△MNP與等腰△ABC重疊部分的面積為SAMN,

∴y=x2,

AO=AD時,即MN=BC=3時,y最小,最小值為3;

AO>AD時,

連接APMNO,

AO⊥MN,

∵MN∥BC,

∴AP⊥BC,△AMN∽△ABC,△PEF∽△PMN∽△AMN,

,,

即:,

∴AO=x,

∴EF=2x﹣6,OD=AD﹣AO=4﹣x,

∴y=S梯形MNFE=(EF+MN)OD=×(2x﹣6+x)×(4﹣x)=﹣(x﹣4)2+4,

x=4時,y有最大值,最大值為4,

綜上所述:當x=4時,y的值最大,最大值是4.

練習冊系列答案
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男生:74 97 96 89 98 74 65 76 72 78 99 72 97 76 99 74 99 73 98 74

女生:76 87 93 65 78 94 89 68 95 54 89 87 89 89 77 94 86 87 92 91

成績

50≤x≤59

60≤x≤69

70≤x≤79

80≤x≤89

90≤x≤100

男生

0

1

10

1

8

女生

1

2

a

8

6

平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差如表所示:

成績

平均數(shù)

中位數(shù)

眾數(shù)

方差

男生

84

77

74

145.4

女生

84

b

89

115.6

根據(jù)以上信息,回答下列問題:

1a   ,b   ;

2)你認為七年級學生中,男生還是女生的總體成績較好,為什么?(至少從兩個不同的角度說明)

3)若在此次競賽中,該校七年級學生中有四人取得100分的好成績,且恰好是兩個男生兩個女生.現(xiàn)從這四人中隨機抽取兩人參加市里的競賽,求這兩人恰好是一男一女的概率.

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