【題目】如圖,已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(﹣2,0),點(diǎn)B(﹣3,3)及原點(diǎn)O,頂點(diǎn)為C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線的BC段上,是否存在一點(diǎn)G,使得△GBC的面積最大?若存在,求出這個(gè)最大值及此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)P是拋物線的第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PM⊥x軸,垂足為M,是否存在點(diǎn)P,使得以P、M、A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;
(4)若點(diǎn)D在拋物線上,點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上,且以A、O、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo).
【答案】(1)∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x;
(2)當(dāng)x=﹣2時(shí),S△GBC=1最大,此時(shí),G(﹣2,0);
(3)符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè),分別是P1(, ),P2(3,15)
(4)D1(1,3),D2(﹣3,3);D3(﹣1,﹣1).
【解析】試題分析:(1)由于拋物線經(jīng)過A(﹣2,0),B(﹣3,3)及原點(diǎn)O,待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;(2)存在一點(diǎn)G,使得△GBC的面積最大,過G作GH垂直y軸交BC于點(diǎn)H,設(shè)G(x1,x2+2x),求出直線BC的解析式,表示出點(diǎn)H的坐標(biāo),用x表示出GH的長,構(gòu)建 出以GH和△GBC的面積為變量的二次函數(shù)模型,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可;(3)分兩種情況討論,①△AMP∽△BOC,②PMA∽△BOC,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。(4)分OA為平行四邊形的一邊和對(duì)角線兩種情況,根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形,可以求出點(diǎn)D的坐標(biāo).
試題解析:
(1)∴拋物線的解析式為y=(x﹣2)x=x2﹣2x;
(2)存在一點(diǎn)G,使得△GBC的面積最大,理由如下:
理由:過G作GH垂直y軸交BC于點(diǎn)H,設(shè)G(x1,x2+2x),設(shè)過直線BC的解析式為y=kx+b,∵y=(x﹣2)x=x2﹣2x=(x+1)2﹣1,∴頂點(diǎn)C(﹣1,﹣1),
又∵B(﹣3,﹣3),∴,∴,∴y=﹣2x﹣3,∴可設(shè)點(diǎn)H(x,﹣2x﹣3)∴S△GBC=(﹣2x﹣3﹣x2﹣2x)(﹣1+3)=﹣x2﹣4x﹣3=﹣(x+2)2+1
∵a=﹣1<0,對(duì)稱軸為x=﹣2,∴當(dāng)x=﹣2時(shí),S△GBC=1最大,此時(shí),G(﹣2,0);
(3)存在,∵點(diǎn)B在拋物線上,∴當(dāng)x=﹣3時(shí),y=9﹣6=3,∴B(﹣3,3),
根據(jù)勾股定理得:BO2=9+9=18;CO2=1+1=2;BC2=16+4=20,∴BO2+CO2=18+2=20,∴BO2+CO2=BC2,∴△BOC為直角三角形,假設(shè)存在點(diǎn)P,使得以P、M、A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似,如圖2,設(shè)P(m,n),由題意得m>0,n>0,且n=m2+2m,
①若△AMP∽△BOC,則,即,整理得:m+2=3(m2+2m)=0,即3m2+5m﹣2=0,解得:m1=,m2=﹣2(舍去),m1=時(shí),n=+=,∴P(,);
②若△AMP∽△COB,則,即,整理得:m2﹣m﹣6=0,
解得 m1=3,m2=﹣2(舍去),當(dāng)m=3時(shí),n=9+6=15,∴P(3,15),
綜上所述,符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè),分別是P1(,),P2(3,15);
(4)如圖3所示,分三種情況考慮:
當(dāng)D1在第一象限時(shí),若四邊形AOD1E1為平行四邊形,
∴AO=E1D1=2,
∵拋物線對(duì)稱軸為直線x=﹣1,
∴D1橫坐標(biāo)為1,
將x=1代入拋物線y=x2+2x=1+2=3,即D1(1,3);
當(dāng)D2在第二象限時(shí),同理D2(﹣3,3);
當(dāng)D3在第三象限時(shí),若四邊形AE2OD3為平行四邊形,此時(shí)D3與C重合,即D3(﹣1,﹣1).
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在第49屆世界乒乓球錦標(biāo)賽中,男子單打決賽在我國選手馬琳和王勵(lì)勤之間展開,雙方苦戰(zhàn)七局,最終王勵(lì)勤以4︰3獲得勝利,七局比分如下表:
(1)請(qǐng)將七局比分的相關(guān)數(shù)據(jù)的分析結(jié)果,直接填入下表中(結(jié)果精確到0.1).
(2)中央電視臺(tái)在此次現(xiàn)場直播時(shí),開展了“短信互動(dòng),有獎(jiǎng)況猜”活動(dòng),凡是參與短信互動(dòng)且預(yù)測結(jié)果正確的觀眾,都能參加“乒乓大禮包”的投資活動(dòng),據(jù)不完全統(tǒng)計(jì),約有32000名觀眾參與了此次短信互動(dòng)活動(dòng),其中有50%的觀眾預(yù)測王勵(lì)勤獲勝.陳明同學(xué)參加了本次“短信互動(dòng)”活動(dòng),并預(yù)測了王勵(lì)勤獲勝,如果從中抽取80名幸運(yùn)觀眾,贈(zèng)送“乒乓大禮包”一份,那么陳明同學(xué)中獎(jiǎng)的概率有多大?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國第一艘航母“遼寧艦”最大排水量為67500噸,用科學(xué)記數(shù)法表示這個(gè)數(shù)字是( 。
A.6.75×103噸
B.67.5×103噸
C.6.75×104噸
D.6.75×105噸
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知甲、乙、丙均為x的一次多項(xiàng)式,且其一次項(xiàng)的系數(shù)皆為正整數(shù).若甲與乙相乘為x2﹣4,乙與丙相乘為x2+15x﹣34,則甲與丙相加的結(jié)果與下列哪一個(gè)式子相同?( 。
A.2x+19
B.2x﹣19
C.2x+15
D.2x﹣15
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】湘潭盤龍大觀園開園啦!其中杜鵑園的門票售價(jià)為:成人票每張50元,兒童票每張30元.如果某日杜鵑園售出門票100張,門票收入共4000元.那么當(dāng)日售出成人票 張.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列運(yùn)算正確的是:( )
A. (a﹣b)2=a2﹣b2B. a10÷a2=a5
C. (2a2b3)3=8a6b9D. 2a23a3=6a6
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某大獎(jiǎng)賽評(píng)分規(guī)則:去掉7位評(píng)委評(píng)分中的一個(gè)最高分和一個(gè)最低分,其平均分為選手的最后得分.下表是7位評(píng)委給某位選手的評(píng)分(單位:分)情況:
評(píng)委 | 1號(hào) | 2號(hào) | 3號(hào) | 4號(hào) | 5號(hào) | 6號(hào) | 7號(hào) |
評(píng)分 | 9.3 | 9.4 | 9.8 | 9.6 | 9.2 | 9.7 | 9.5 |
則這位選手的最后得分是( )
A. 9.4分 B. 9.5分 C. 9.6分 D. 9.7分
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】幾何體的三視圖相互關(guān)聯(lián).已知直三棱柱的三視圖如圖,在△PMN中,∠MPN=90°,PN=4,sin∠PMN= .
(1)求BC及FG的長;
(2)若主視圖與左視圖兩矩形相似,求AB的長;
(3)在(2)的情況下,求直三棱柱的表面積.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com