【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=5,AB邊上的高CD=4,點P從點A出發(fā),沿AB以每秒3個單位長度的速度向終點B運動,當(dāng)點P不與點A、B重合時,過點P作PQ⊥AB,交邊AC或邊BC于點Q,以PQ為邊向右側(cè)作正方形PQMN.設(shè)正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形的面積為S(平方單位),點P運動的時間為t(秒).
(1)直接寫出tanB的值為 .
(2)求點M落在邊BC上時t的值.
(3)當(dāng)正方形PQMN與△ABC重疊部分為四邊形時,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.
(4)邊BC將正方形PQMN的面積分為1:3兩部分時,直接寫出t的值.
【答案】
(1)2
(2)解:當(dāng)點M落在BC邊上時,如圖1,
由題意得:AP=3t,
tan∠CAB= ,
∴PQ=PN=MN=4t,BN=2t,
∴3t+4t+2t=5,
t=
(3)解:分三種情況:
①當(dāng)0<t≤ 時,如圖1,正方形PQMN與△ABC重疊部分是正方形PQMN,
∴S=PQ2=(4t)2=16t2;
②當(dāng)N與B重合時,如圖2,
AP=3t,PQ=PB=4t,
∴3t+4t=5,
t= ,
當(dāng) <t< 時,如圖3,正方形PQMN與△ABC重疊部分是五邊形EQPNF,
③當(dāng) ≤t<1時,如圖4,正方形PQMN與△ABC重疊部分是梯形EQPB,
∴AP=3t,PN=4t,
∴BN=7t﹣5,PB=4t﹣(7t﹣5)=﹣3t+5,
在Rt△APQ中,AQ=5t,
∴QC=5﹣5t,
∵AC=AB,
∴∠ACB=∠ABC,
∵QE∥AB,
∴∠QEC=∠ABC,
∴∠QEC=∠ACB,
∴QE=QC=5﹣5t,
∴S=S梯形QPBE= (QE+PB)×PQ,
= (5﹣5t+5﹣3t)×4t=﹣16t2+20t;
綜上所述,S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為:
S=
(4)解:如圖2,當(dāng)t= 時,CQ=QG=5﹣5t= ,
∴GM=4t﹣ = ,
∴QG=GM,
∴S△QGB=S△GMB,
∴S梯形GQPB:S△GMB=3:1,
當(dāng)P與D重合時,t=1,如圖5,
則S△CDB:S四邊形CBNM= ×2×4:(42﹣ ×2×4),
=1:3,
綜上所述,t= s或1s時,邊BC將正方形PQMN的面積分為1:3兩部分
【解析】解:(1)∵CD⊥AB,
∴∠ADC=∠ADB=90°,
∵在Rt△ACD中,AD= =3,
∴BD=AB﹣AD=5﹣3=2,
∴在Rt△BCD中,tan∠B= = =2;
所以答案是2.
【考點精析】通過靈活運用勾股定理的概念和正方形的性質(zhì),掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2;正方形四個角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形即可以解答此題.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】兩個全等的△ABC和△DEF重疊在一起,固定△ABC,將△DEF進行如下變換:
(1)如圖1,△DEF沿直線CB向右平移(即點F在線段CB上移動),連接AF、AD、BD,請直接寫出S△ABC與S四邊形AFBD的關(guān)系;
(2)如圖2,當(dāng)點F平移到線段BC的中點時,四邊形AFBD是什么特殊四邊形?請給出證明;
(3)當(dāng)點F平移到線段BC的中點時,若四邊形AFBD為正方形,猜想△ABC應(yīng)滿足什么條件?請直接寫出結(jié)論:在此條件下,將△DEF沿DF折疊,點E落在FA的延長線上的點G處,連接CG,請在圖3位置畫出圖形,并求出sin∠CGF的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】畫出函數(shù)y=2x+4的圖像,并結(jié)合圖像解決下列問題:
(1)寫出方程2x+4=0的解;
(2)當(dāng)﹣4≤y時,求相應(yīng)x的取值范圍.
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【題目】如圖,已知AB∥CD,CE交AB于點F,若∠E=20°,∠C=45°,則∠A的度數(shù)為( )
A. 5° B. 15° C. 25° D. 35°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在長方形OABC中,O為平面直角坐標(biāo)系的原點,點A,點C分別在x軸,y軸上,點B坐標(biāo)為(4,6),點P從點O出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿O→C→B方向運動,到點B停止.設(shè)點P運動的時間為t(秒).
(1)點A的坐標(biāo)為 ;
(2)當(dāng)t=1秒時,點P的坐標(biāo) ;
(3)當(dāng)點P在OC上運動,請直接寫出點P的坐標(biāo)(用含有t的式子表示);
(4)在移動過程中,當(dāng)點P到y軸的距離為1個單位長度時,求t的值.
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【題目】在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,點D在BC邊上,△ABD和△AFD關(guān)于直線AD對稱,∠FAC的平分線交BC于點G,連接FG.
(1)求∠DFG的度數(shù);
(2)設(shè)∠BAD=θ,
①當(dāng)θ為何值時,△DFG為等腰三角形;
②△DFG有可能是直角三角形嗎?若有,請求出相應(yīng)的θ值;若沒有,請說明理由.
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【題目】某校舉辦“迎省運”學(xué)生書畫展覽,現(xiàn)要在長方形展廳中劃出個形狀、大小完全一樣的小長方形(中陰影部分)區(qū)城擺放展覽作品.
(1)如圖1,若大長方形的長和寬分別為米和米,求小長方形的長和寬;
(2)如圖2,若大長方形的長和寬分別為和,求出一個小長方形與一個大長方形周長的比值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=120,BC=6cm,AB的垂直平分線交BC于點M,交AB于點E,AC的垂直平分線交BC于點N,交AC于點F,則MN的長為( )
A. 1.5cm B. 2cm C. 2.5cm D. 3cm
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,∠ABD和∠BDC的平分線交于點E,BE交CD于點F,∠1+∠2=90°.
(1)試說明:AB∥CD;
(2)試探究∠2與∠3的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
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