Question

16．如圖，O是∠MAN的邊AN上一點(diǎn)，以O(shè)A為半徑作⊙O，交∠MAN的平分線于點(diǎn)D，DE⊥AM于E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）連接OE，若∠EDA=30°，AE=1，求OE的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，欲證DE是⊙O的切線，只需證明OD⊥DE即可；
（2）由∠EDA=30°，AE=1，易得AD=2，DE=$\sqrt{3}$，∠ADO=60°，進(jìn)一步得出△ADO為等邊三角形，得出OD=2，然后根據(jù)勾股定理即可求得OE．

解答 （1）證明：連接OD．
∵AD平分∠MAN，
∴∠EAD=∠OAD．
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD．
∴∠EAD=∠ODA．
∵DE⊥AM于E，
∴∠AED=90°．
∴∠EAD+∠EDA=90°，
∴∠ODA+∠EDA=90°．
∴OD⊥ED．
∴DE是⊙O的切線． 

（2）解：∵∠EDA=30°，
∴∠ODA=60°．
∵OA=OD，
∴△ADO為等邊三角形．
在Rt△AED中，AE=1，可得AD=2，$ED=\sqrt{3}$．
∴OD=AD=2．
在Rt△ODE中，由勾股定理可得$OE=\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定與性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．