Question

【題目】如圖①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE分別是⊙O的內(nèi)接三角形、內(nèi)接四邊形、內(nèi)接五邊形，點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)B，C開始，以相同的速度中⊙O上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)．

（1）求圖①中∠APB的度數(shù)；
（2）圖②中，∠APB的度數(shù)是 ， 圖③中∠APB的度數(shù)是；
（3）根據(jù)前面探索，你能否將本題推廣到一般的正n邊形情況？若能，寫出推廣問題和結(jié)論；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∠APB=120°

圖1：∵△ABC是正三角形，

∴∠ABC=60°．

∵點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)B、C開始以相同的速度在⊙O上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，

∴∠BAM=∠CBN，

又∵∠APN=∠BPM，

∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°，

∴∠APB=180°﹣∠APN=120°；

（2）90°,72°
（3）解：由（1）可知，∠APB=所在多邊形的外角度數(shù)，故在圖n中， ．
【解析】解：（1）∠APB=120°

圖1：∵△ABC是正三角形，

∴∠ABC=60°．

∵點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)B、C開始以相同的速度在⊙O上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，

∴∠BAM=∠CBN，

又∵∠APN=∠BPM，

∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°，

∴∠APB=180°﹣∠APN=120°；

（2）同理可得：∠APB=90°；∠APB=72°．
（3）由（1）可知，∠APB=所在多邊形的外角度數(shù)為 ．
所以答案是：（1）120°；（2）90°；72°．（3）∠APB=所在多邊形的外角度數(shù)為 ．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解圓周角定理的相關(guān)知識(shí)，掌握頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，以及對正多邊形和圓的理解，了解圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對角；圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等．