Question

如圖，等邊△ABC和等邊△DEC，CE和AC重合，CE=

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2

AB．
（1）求證：AD=BE；
（2）若CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)30°，連BD交AC于點G，取AB的中點F邊FG．求證：BE=2FG．

Answer 1

分析：（1）利用SAS即可證明△CBE≌△CAD，利用全等三角形的對應邊相等即可證得；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的定義，可以得到∠ACE=30°，則∠GCD=90°，則AC⊥BD，可證明△BTG≌△DCG，從而得到FG是△ABD的中位線，然后證明Rt△BCE≌Rt△ACD，利用三角形的中位線定理以及全等三角形的性質(zhì)即可確定．

解答：解：（1）證明：∵△ABC和△DEC是等邊三角形，
∴∠BCE=∠ACD=60°，CE=CD，BC=AC，
在△CBE和△CAD中，

CE=CD ∠BCE=∠ACD CB=CA

，
∴△CBE≌△CAD（SAS），
∴AD=BE；

（2）過B作BT⊥AC于T，連AD，如圖，
∵CE繞C順時針旋轉(zhuǎn)30°，
∴∠ACE=30°，
∴∠GCD=90°，
由勾股定理可得BT=

3

2

AB，
又∵CD=CE=

3

2

AB，
∴BT=CD．
在△BTG和△DCG中，

∠BTC=∠DCG ∠BGT=∠DGC BT=CD

，
∴△BTG≌△DCG，
∴BG=DG，
∵F是AB的中點．
∴FG∥AD，F(xiàn)G=

1

2

AD．
則在Rt△BCE和Rt△ACD中，

BC=AC ∠BCE=∠ACD CE=CD

∴Rt△BCE≌Rt△ACD．
∴BE=AD，
∴BE=2FG．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形的中位線定理，正確作出輔助線是關鍵．