【題目】如圖,點(diǎn)0是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn),∠AOB=110°,∠BOC=α,OC=CD,
且∠DOC=60°連接OD.
(1)求證:△COD是等邊三角形
(2)當(dāng)α=150°時,試判斷△AOD的形狀,并說明理由
(3)探究:當(dāng)α為多少度時,△AOD是等腰三角形
【答案】(1)證明略。
(2)△AOD是直角三角形
(3)α=140°
【解析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出OC=OD,結(jié)合題意即可證得結(jié)論;
(2)結(jié)合(1)的結(jié)論可作出判斷;
(3)找到變化中的不變量,然后利用旋轉(zhuǎn)及全等的性質(zhì)即可做出解答.
(1)證明:∵將△BOC繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC
∴CO=CD,∠OCD=60°
∴△COD是等邊三角形.
(2)解:當(dāng)=150°時,△AOD是直角三角形
理由是:∵△BOC≌△ADC
∴∠ADC=∠BOC=150°
又∵△COD是等邊三角形
∴∠ODC=60°[來
∴∠ADO=∠ADC -∠ODC=90°,即△AOD是直角三角形.
(3)解:①要使AO=AD,需∠AOD=∠ADO
∵∠AOD= = ,∠ADO=
∴=
∴
②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO
∵∠OAD=(∠AOD+∠ADO)==
∴=
∴
③要使DO=DA,需∠OAD=∠AOD.
∵∠AOD= = ,∠OAD=∴=,解得
綜上所述:當(dāng)的度數(shù)為或或時,△AOD是等腰三角形.
“點(diǎn)睛”本題以“空間與圖形”中的核心知識(如等邊三角形)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與證明、直角三角形的判定、多邊形內(nèi)角和等)為載體,內(nèi)容由淺入深,層層遞進(jìn),試題中幾何演繹推理的難度適中,蘊(yùn)含著豐富的思想方法(如運(yùn)動變化、數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程思想等)能較好地考查學(xué)生的推理、探究及解決問題的能力.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中有A(-2,1),B(3,1),C(2,3)三點(diǎn).請回答下列問題:
(1)在坐標(biāo)系內(nèi)描出點(diǎn)A,B,C的位置.
(2)求出以A,B,C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積.
(3)在y軸上是否存在點(diǎn)P,使以A,B,P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為10?若存在,請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,對角線BD的垂直平分線MN與AD相交于點(diǎn)M,與BD相交于點(diǎn)O,與BC相交于點(diǎn)N,連接BM、DN.
(1)求證:四邊形BMDN是菱形;
(2)若AB=4,AD=8,求菱形BMDN的面積和對角線MN的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,為了測量某交通路口設(shè)立的路況顯示牌的立桿AB的高度,在D處用高1.2m的測角儀CD,測得最高點(diǎn)A的仰角為32°,已知觀測點(diǎn)D到立桿AB的距離DB為3.8m,求立桿AB的高度.(結(jié)果精確到0.1m)
【參考數(shù)據(jù):sin32°=0.53,cos32°=0.85,tan32°=0.62】
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D為邊AB中點(diǎn),點(diǎn)E、F分別在射線CA、BC上,且AE=CF,連結(jié)EF.
猜想:如圖①,當(dāng)點(diǎn)E、F分別在邊CA和BC上時,線段DE與DF的大小關(guān)系為________.
探究:如圖②,當(dāng)點(diǎn)E、F分別在邊CA、BC的延長線上時,判斷線段DE與DF的大小關(guān)系,并加以證明.
應(yīng)用:如圖②,若DE=4,利用探究得到的結(jié)論,求△DEF的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC由△A′B′C′繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°而得到,則下列結(jié)論不成立的是( )
A.點(diǎn)A與點(diǎn)A′是對應(yīng)點(diǎn)
B.BO=B′O
C.∠ACB=∠C′A′B′
D.AB∥A′B′
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知D、E分別為△ABC中AB、BC上的動點(diǎn),直線DE與直線AC相交于F,∠ADE的平分線與∠B的平分線相交于P,∠ACB的平分線與∠F的平分線相交于Q.
(1)如圖1,當(dāng)F在AC的延長線上時,求∠P與∠Q之間的數(shù)量關(guān)系;
(2)如圖2,當(dāng)F在AC的反向延長線上時,求∠P與∠Q之間的數(shù)量關(guān)系(用等式表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,OE平分∠AOB,BD⊥OA于點(diǎn)D,AC⊥BO于點(diǎn)C,則圖中全等三角形共有_______對.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BD是△ABC的角平分線,DE⊥AB于點(diǎn)E.
(1)如圖1,連接EC,求證:△EBC是等邊三角形;
(2)點(diǎn)M是線段CD上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)C,D重合),以BM為一邊,在BM的下方作∠BMG=60°,MG交DE延長線于點(diǎn)G.求證:AD=DG+MD;
(3)點(diǎn)N是線段AD上的一點(diǎn),以BN為一邊,在BN的下方作∠BNG=60°,NG交DE延長線于點(diǎn)G.請在圖3中畫出圖形,并直接寫出ND,DG與AD數(shù)量之間的關(guān)系.
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