【題目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D為邊AB中點(diǎn),點(diǎn)E、F分別在射線CA、BC上,且AE=CF,連結(jié)EF.
猜想:如圖①,當(dāng)點(diǎn)E、F分別在邊CA和BC上時(shí),線段DE與DF的大小關(guān)系為________.
探究:如圖②,當(dāng)點(diǎn)E、F分別在邊CA、BC的延長線上時(shí),判斷線段DE與DF的大小關(guān)系,并加以證明.
應(yīng)用:如圖②,若DE=4,利用探究得到的結(jié)論,求△DEF的面積.

【答案】猜想:DE=DF.
如圖1,連結(jié)CD,

∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠CAD=45°,
∵D為邊AB的中點(diǎn),
∴CD=AD,∠BCD= ∠ACB=45°,
∴∠EAD=∠FCD,
在△AED和△CFD中

∴△ADE≌△CFD(SAS),
∴DE=DF,
故答案為:DE=DF;
探究:DE=DF,證明如下:
如圖2,連接CD,

∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠CAD=45°,
∵D為AB中點(diǎn),
∴AD=CD,∠BCD= ∠ACB=45°,
∵∠CAD+∠EAD=∠BCD+∠FCD=180°,
∴∠EAD=∠FCD=135°,
在△ADE和△CDF中

∴△ADE≌△CDF(SAS),
∴DE=DF;
應(yīng)用:
∵△ADE≌△CDF,
∴∠ADE=∠CDF,
∵∠ADC=90°,
∴∠EDF=90°,
∵DE=DF=4,
∴SDEF= DE2= ×42=8.
【解析】猜想:連接CD,可證明△ADE≌△CFD,可得出結(jié)論;探究:連接CD,同(1)可證明△ADE≌△CFD,可證得DE=DF;應(yīng)用:由△ADE≌△CFD可證得∠EDF=90°,容易求得△DEF的面積.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等; 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)延長MP交CN于點(diǎn)E(如圖2).

①求證:△BPM≌△CPE;
②求證:PM=PN;
(2)若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí),點(diǎn)B,P在直線a的同側(cè),其它條件不變,此時(shí)PM=PN還成立嗎?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,請(qǐng)說明理由;

(3)若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到與BC邊平行的位置時(shí),其它條件不變,請(qǐng)直接判斷四邊形MBCN的形狀及此時(shí)PM=PN還成立嗎?不必說明理由.

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