Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸相交于、兩點，與軸相交于點，若已知點的坐標為．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求線段所在直線的解析式；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點，使為等腰三角形？若存在，求出符合條件的點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，(2，2)或(2，-2)或(2，0)或(2，)

【解析】

（1）將A點代入拋物線的解析式即可求得答案；

（2）先求得點B、點C的坐標，利用待定系數(shù)法即可求得直線BC的解析式；

（3）設(shè)出P點坐標，然后表示出△ACP的三邊長度，分三種情況計論，根據(jù)腰相等建立方程，求解即可．

（1）將點代入中，

得：，

解得：，

∴拋物線的解析式為；

（2）當時，，

∴點C的坐標為(0，4) ，

當時，，

解得： ，

∴點B的坐標為(6，0) ，

設(shè)直線BC的解析式為，

將點B (6，0)，點C (0，4)代入，得：

，

∴，

∴直線BC的解析式為，

（3）拋物線的對稱軸為，

假設(shè)存在點P，設(shè)，

則，

，

，

∵△ACP為等腰三角形，

①當時，，

解之得：，

∴點P的坐標為(2，2)或(2，-2)；

②當時，，

解之得：或(舍去)，

∴點P的坐標為(2，0)或(2，8)，

設(shè)直線AC的解析式為，

將點A(-2，0)、C (0，4)代入得，

解得：，

∴直線AC的解析式為，

當時，，

∴點(2，8)在直線AC上，

∴A、C、P在同一直線上，點(2，8)應舍去；

③當時，，

解之得：，

∴點P的坐標為(2，)；

綜上，符合條件的點P存在，坐標為：(2，2)或(2，-2)或(2，0)或(2，)．