【題目】已知拋物線y=-x2+2mx-m2+的頂點(diǎn)為P.
(1)求證:不論m取何值,點(diǎn)P始終在同一個反比例函數(shù)圖象上?
(2)若拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)m為何值時,線段AB長等于8?
(3)該拋物線上是否存在一點(diǎn)Q,使得△OPQ是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰直角三角形?若不存在,請說明理由;若存在,請求出m的值.
【答案】(1)答案見解析;(2);(3)±1.
【解析】
(1)先求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)即可得出結(jié)論;(2)把y=0代入函數(shù)解析式得到關(guān)于m的一元二次方程,再由m>0,即可求解;(3)分m>0,m<0,兩種情況討論即可.
本題解析:
(1)證明:∵y=-x2+2mx-m2+,∴y=-(x-m)2+,∴P(m,).
∵m×=1,∴點(diǎn)P始終在圖象上
(2)把y=0代入y=-x2+2mx-m2+中
-x2+2mx-m2+=0
(x-m)2=
當(dāng)m>0時,x=m±,∴AB=,∴m=.
(3)①當(dāng)m>0,∠OPQ=90°時
如圖,可證△OPM≌△PQN.
∵P(m,),∴Q(m+,-m)(注:拋物線開口向下,只有這一種情況)
∴-m=-(m+-m)2+,解得m=1.
②當(dāng)m<0,∠OPQ=90°時
∵P(m,),∴Q(m-,+m) (注:拋物線開口向下,只有這一種情況)
∴+m=-(m--m)2+,解得m=-1.
綜上所述:m的值為±1.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:等腰△DEC,∠DEC=90°,DE=EC=3,已知等腰△AEB,∠AEB=90°,AE=BE=2.
(l)求證:△DEB≌△CEA;
(2)判斷BD與AC的關(guān)系,并說明理由.
(3)若∠DAE=90°,請直接寫出BC的長,BC= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了豐富同學(xué)的課余生活,某學(xué)校將舉行“親近大自然”戶外活動,現(xiàn)隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行主題為“你最想去的景點(diǎn)是________”的問卷調(diào)查,要求學(xué)生只能從“A(綠博園),B(人民公園),C(濕地公園),D(森林公園)”四個景點(diǎn)中選擇一項(xiàng),根據(jù)調(diào)查結(jié)果,繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
回答下列問題:
(1)本次共調(diào)查了多少名學(xué)生?
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;
(3)若該學(xué)校共有3 600名學(xué)生,試估計該校去濕地公園的學(xué)生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知一次函數(shù)=的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,0),與反比例函數(shù)=(>0)的圖象相交于點(diǎn)B(2,1).
(1)求的值和一次函數(shù)的解析式;
(2)結(jié)合圖象直接寫出:當(dāng)>0時,不等式>的解集.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,△ABC和△DEC都是等邊三角形,D是BC延長線上一點(diǎn),AD與BE相交于點(diǎn)P,AC、BE相交于點(diǎn)M,AD,CE相交于點(diǎn)N,則下列五個結(jié)論:①AD=BE;②AP=BM;③∠APM=60°;④△CMN是等邊三角形;⑤連接CP,則CP平分∠BPD,其中,正確的是_____.(填寫序號)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(c≠4a),其圖象L經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0).
(1)求證:b2-4ac>0;
(2)若點(diǎn)B(-,b+3)在圖象L上,求b的值;
(3)在(2)的條件下,若圖象L的對稱軸為直線x=3,且經(jīng)過點(diǎn)C(6,-8),點(diǎn)D(0,n)在y軸負(fù)半軸上,直線BD與OC相交于點(diǎn)E,當(dāng)△ODE為等腰三角形時,求n的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)問題發(fā)現(xiàn):如圖1,△ACB和△DCE均為等邊三角形,當(dāng)△DCE旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A,D,E在同一直線上,連接BE,易證△BCE≌△ACD.則
①∠BEC=______°;②線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是______.
(2)拓展研究:
如圖2,△ACB和△DCE均為等腰三角形,且∠ACB=∠DCE=90°,點(diǎn)A、D、E在同一直線上,若AE=15,DE=7,求AB的長度.
(3)探究發(fā)現(xiàn):
如圖3,P為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn),且∠APC=150°,且∠APD=30°,AP=5,CP=4,DP=8,求BD的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,∠ACD是△ABC的外角,CE平分∠ACB,交AB于E,CF平分∠ACD,EF//BC交AC、CF于M、F,若EM=3,則CE2+CF2 的值為( )
A.36B.9C.6D.18
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