Question

【題目】已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（c≠4a），其圖象L經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（－2，0）.

（1）求證：b2－4ac＞0；

（2）若點(diǎn)B（－，b＋3）在圖象L上，求b的值；

（3）在（2）的條件下，若圖象L的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝3，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（6，－8），點(diǎn)D（0，n）在y軸負(fù)半軸上，直線(xiàn)BD與OC相交于點(diǎn)E，當(dāng)△ODE為等腰三角形時(shí)，求n的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）－3；（3）或

【解析】試題分析：（1）將點(diǎn)A坐標(biāo)代入函數(shù)解析式中，得b＝2a＋ c，再代入b2－4ac中得，b2－4ac＝(2a－c)2，由c≠4a得2a－c≠0，所以(2a－c)2＞0，即b2－4ac＞0． （2）將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式中得： ，由4a－2b＋c＝0，所以b＋3＝0，解得b＝－3；（3）由題意，得，且36a－18＋c＝－8，解得a＝，c＝－8．所以圖象L的解析式為y＝x2－3x－8． 設(shè)OC與對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)Q，圖象L與y軸相交于點(diǎn)P，則Q(3，－4)，P(0，－8)，OQ＝PQ＝5．分兩種情況：①當(dāng)OD=OE時(shí)，②當(dāng)EO=ED時(shí)，討論求值即可；

試題解析：

（1）證明：

由題意，得4a－2b＋c＝0，

∴b＝2a＋c．

∴b2－4ac＝(2a＋c)2－4ac＝(2a－c)2．

∵c≠4a，

∴2a－c≠0，

∴(2a－c)2＞0，即b2－4ac＞0．

（2）解：∵點(diǎn)B（－，b＋3）在圖象L上，

∴，整理，得．

∵4a－2b＋c＝0，

∴b＋3＝0，解得b＝－3．

（3）解：由題意，得，且36a－18＋c＝－8，解得a＝，c＝－8．

∴圖象L的解析式為y＝x2－3x－8．

設(shè)OC與對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)Q，圖象L與y軸相交于點(diǎn)P，

則Q(3，－4)，P(0，－8)，OQ＝PQ＝5．

分兩種情況：

①當(dāng)OD=OE時(shí)，如圖1，

過(guò)點(diǎn)Q作直線(xiàn)MQ∥DB，交y軸于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)H，

則，

∴OM=OQ=5.

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，－5）.

設(shè)直線(xiàn)MQ的解析式為.

∴，解得.

∴MQ的解析式為.易得點(diǎn)H（15，0）.

又∵MH∥DB， .

即，

∴.

②當(dāng)EO=ED時(shí)，如圖2，

∵OQ=PQ，

∴1=2，又EO=ED，

∴1=3.

∴2=3，

∴PQ∥DB.

設(shè)直線(xiàn)PQ交于點(diǎn)N，其函數(shù)表達(dá)式為

∴，解得.

∴PQ的解析式為.

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（6，0）.

∵PN∥DB，

∴，

∴，解得.

綜上所述，當(dāng)△ODE是等腰三角形時(shí)，n的值為或.