【題目】如圖,四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形,且對角線AC為直徑,AD=BC,過點D作DG⊥AC,垂足為E,DG分別與AB及CB延長線交于點F、M.
(1)求證:四邊形ABCD是矩形;
(2)若點G為MF的中點,求證:BG是⊙O的切線;
(3)若AD=4,CM=9,求四邊形ABCD的面積.

【答案】
(1)證明:∵AC是⊙O的直徑,

∴∠ADC=∠ABC=90°.

在Rt△ADC和Rt△CBA中,AC=CA,AD=CB,

∴Rt△ADC≌Rt△CBA,

∴∠CAD=∠ACB,

∴AD∥BC,

又∵AD=BC,

∴四邊形ABCD是平行四邊形.

又∵∠ABC=90°,

∴□ABCD是矩形.


(2)證明:連接OB.

在Rt△MBF中,G是MF的中點,

∴BG= MF=FG,

∴∠GBF=∠GFB=∠AFE.

∵OA=OB,

∴∠OBA=∠OAB.

∵DG⊥AC,

∴∠AFE+∠OAB=90°,

∴∠GBF+∠OBA=90°,即OB⊥BG,

∴BG是⊙O的切線.


(3)解:由(1)得四邊形ABCD是矩形,

∴∠ADC=∠DCM=90°.

又∵AC⊥DG,

∴∠CDM+∠ACD=90°,∠CDM+∠M=90°

∴∠ACD=∠M.

又∵∠ADC=∠DCM,

∴△ACD∽△DMC,

,

∴DC2=ADCM=36,

∴DC=6,

∴S矩形ABCD=ADCD=24.


【解析】(1)由直徑所對的圓周角等于90°可知∠ADC=∠ABC=90°,然后利用HL可證明Rt△ADC≌Rt△CBA,依據全等三角形的性質得到∠CAD=∠ACB,然后令平行線的判定定理可得到AD∥BC,依據有一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形可知ABCD是平行四邊形,然后由∠ABC=90°,可證明四邊形ABCD是矩形.(2)連接OB.依據直角三角形斜邊上中線的性質可得到GF=GB,則∠GBF=∠GFB=∠AFE,由OA=OB,可證明∠OBA=∠OAB,由∠AFE+∠OAB=90°,可得到∠GBF+∠OBA=90°;(3)先證明△ACD∽△DMC,由相似三角形對應邊成比例可求得DC=6,最后利用矩形的面積=長×寬求解即可.

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