Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊△ABC的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（0，0），（6，0），點(diǎn)D是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CD，將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BCE，連接DE．

（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為____，△CDE為____三角形；

（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形CDBE的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出四邊形CDBE的周長(zhǎng)最小值及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)△BDE是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（3，3）；等邊；（2）存在，6+6，（3，0）；（3）（-6，0）或（12，0）．

【解析】

（1）作CH⊥AB于H，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AH，根據(jù)勾股定理求出CH，得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、等邊三角形的判定定理得到△CDE為等邊三角形；
（2）證明△ACD≌△BCE，得到AD=BE，根據(jù)四邊形的周長(zhǎng)公式、垂線段最短計(jì)算，求出四邊形CDBE的周長(zhǎng)最小值、此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）分點(diǎn)的D在AB的延長(zhǎng)線、在BA的延長(zhǎng)線兩種情況，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)解答．

解：（1）如圖①，作CH⊥AB于H，

∵△ABC為等邊三角形，
∴CA=CB=AB=6，
∵CH⊥AB，
∴AH=HB=3，
由勾股定理得，CH= ，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，3），
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，CD=CE，∠DCE=60°，
∴△CDE為等邊三角形，
故答案為：（3，3）；等邊；
（2）存在，
理由如下：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ACD+∠DCB=60°，
∵△DCE為等邊三角形，
∴∠BCE+∠DCB=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴AD=BE，

∴四邊形CDBE的周長(zhǎng)=CD+DB+BE+CE=CD+DB+AD+CE=6+2CD，
當(dāng)CD最小時(shí)，四邊形CDBE的周長(zhǎng)存在最小值，
由垂線段最短可知，CD⊥AB時(shí)，CD最小，CD的最小值為3，
∴四邊形CDBE的周長(zhǎng)最小值為6+6，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，0）；
（3）由（2）可知，△ACD≌△BCE，
∴BE=AD，
∴∠DBE=120°或60°，不能為90°，
如圖②，∠DEB=90°時(shí)，∠DBE=60°，
∴∠BDE=30°，
∴DB=2BE，
∵BE=AD，

∴AD=AB=6，此時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-6，0），
如圖③，當(dāng)∠BDE=90°時(shí)，∠ADC=90°-60°=30°，
∵∠CAD=60°，
∴∠ACD=90°，又∠ADC=30°，
∴AD=2AC=12，此時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（12，0），
綜上所述，當(dāng)△BDE是直角三角形時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-6，0）或（12，0）．