Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的弦，半徑OA=2cm，∠AOB=120°

（1）求tan∠OAB的值；

（2）求圖中陰影部分的面積S；

（3）在⊙O上一點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周，回到點(diǎn)A，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，滿足S△POA=S△AOB時(shí)，直接寫出P點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)（不考慮點(diǎn)P與點(diǎn)B重合的情形）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（π﹣）cm2；（3）P點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為 πcm或πcm或πcm．

【解析】試題分析：(1)、根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠OAB的角度，從而根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出它的值；(2)、陰影部分的面積等于扇形AOB的面積減去△OAB的面積；(3)、本題需要分∠AOP=60°、∠AOP=120°和點(diǎn)P在弧AB上三種情況來(lái)分別進(jìn)行計(jì)算，得出答案．

試題解析：(1)、解：∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA，

∵∠OAB= （180°﹣120°）=30°， ∴tan∠OAB=tan30°=；

(2)、解：作OC⊥AB于C，如圖，則AC=BC，

在Rt△OAC中，OC=OA=1，AC=OC=， ∴AB=2AC=2，

∴S弓形AB=S扇形AOB﹣S△AOB=﹣2 1=（π﹣）cm2；

(3)、解：延長(zhǎng)BO交⊙O于P， ∵OP=OB， ∴此時(shí)S△AOP=S△AOB，

∵∠AOP=∠OAB+∠OBA=60°， ∴此時(shí)P點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)=π（cm）；

當(dāng)點(diǎn)P在弧AB上，且∠AOP=60°時(shí)，時(shí)S△AOP=S△AOB ，

此時(shí)P點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)=2π2﹣π=π（cm）；

當(dāng)∠AOP=120時(shí)，S△AOP=S△AO， ∴此時(shí)P點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)=π（cm）；

綜上所述，P點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為πcm或πcm或πcm．