Question

【題目】如圖，已知半徑為2的⊙O與直線l相切于點(diǎn)A，點(diǎn)P是直徑AB左側(cè)半圓上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為C，PC與⊙O交于點(diǎn)D，連接PA、PB，設(shè)PC的長為x（2＜x＜4），則PDCD的最大值是（　�。�．

A.2B.3C.4D.6

Answer 1

【答案】A

【解析】

過點(diǎn)O向BC作垂線OH，垂足為H，由垂徑定理得到H為PD的中點(diǎn)，設(shè)PC=x，根據(jù)CD=PC-PD，進(jìn)而求出PD·CD，整理后得到關(guān)于x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出所求式子的最大值及此時x的取值．

過點(diǎn)O向BC作垂線OH，垂足為H，

∵PD是⊙O的弦，OH⊥PD，

∴PH=HD.

∵∠CHO=∠HCA=∠OAC=90°，

∴四邊形OACH為矩形，

∴CH=OA=2，

∵PC=x，

∴PH=HD=PC-CH=x-2，

∴CD=PC-PD=x-2(x-2)=4-x，

∴PD·CD=2 (x-2)(4-x)=-2x2+12x-16=-2(x-3)2+2，

∵2＜x＜4，

∴當(dāng)x=3時，PD·CD的值最大，最大值是2，

故選：A．