Question

【題目】如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)為該二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)．連接、及、．

（1）如圖1，若點(diǎn)的坐標(biāo)，頂點(diǎn)坐標(biāo)．

①求的值，并說明；

②如圖2，點(diǎn)是拋物線的對稱軸上一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心的圓經(jīng)過、兩點(diǎn)，且與直線相切，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若，點(diǎn)，點(diǎn)，如圖3，動(dòng)點(diǎn)在直線上方的二次函數(shù)圖象上．過點(diǎn)作于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得中的某個(gè)角恰好等于的2倍？若存在，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)：若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①，見解析；②點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，﹣4+）或（1，﹣4﹣）；（2）G的橫坐標(biāo)或

【解析】

（1）①設(shè)，將點(diǎn)B坐標(biāo)代入，求出a值，得到拋物線表達(dá)式，令y=0，求出點(diǎn)A坐標(biāo)，根據(jù)OB和OC得出∠CBO=∠OCB，再根據(jù)各點(diǎn)坐標(biāo)算出BC，DC，BD的長，證明△BCD是直角三角形，推出∠DBC=∠OCA，從而得到結(jié)論；

②設(shè)直線CD切⊙P于點(diǎn)E．連結(jié)PE、PA，作CF⊥DQ于點(diǎn)F，證明△DEP為等腰三角形，設(shè)P（1，m），在△APQ中，利用勾股定理列出方程，解出m，可得點(diǎn)P坐標(biāo)；

（2）分，兩種情況分別討論，列出相應(yīng)方程，解之即可.

解：（1）①設(shè)，將B（3，0）代入，

解得，

∴拋物線的解析式是：，即，

令，則，，，

∴A（－1，0），

∴，

∴∠CBO=∠OCB，，

∵，，，

∴，是直角三角形且，

∴，

又∵∠DBC和∠OCA都是銳角，

∴∠DBC=∠OCA，

∴∠DBA=∠ACB；

②如圖，設(shè)直線CD切⊙P于點(diǎn)E．連結(jié)PE、PA，作CF⊥DQ于點(diǎn)F，

∴PE⊥CD，PE=PA，

由y=﹣x2+2x+3，得：對稱軸為直線x=1，C（0，3）、D（1，4），

∴DF=4﹣3=1，CF=1，

∴DF=CF，

∴△DCF為等腰直角三角形，

∴∠CDF=45°，

∴∠EDP=∠EPD=45°，

∴DE=EP，

∴△DEP為等腰三角形，

設(shè)P（1，m），D（1，4），

∴，

∴，

∴EP2=（4﹣m）2，

在△APQ中，∠PQA=90°，

∴AP2=AQ2+PQ2=[1-（-1）]2+m2

∴（4﹣m）2=[1-（-1）]2+m2，

整理，得m2+8m﹣8=0，

解得，m=﹣4±，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，﹣4+）或（1，﹣4﹣）；

（2）G的橫坐標(biāo)或，

①若，

∴，

∴，

當(dāng)時(shí)，

，

∴，

于是，，

∴，

∴，

∴（舍），，

∴；

②若，

取的中點(diǎn)，

則，

∴，

∴，

令，，則，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，，，

∴，

∴，

∴，

∴

故點(diǎn)G的橫坐標(biāo)或.