Question

已知A、B、C是半徑為2的圓O上的三個點，其中點A是弧BC的中點，連接AB、AC，點D、E分別在弦AB、AC上，且滿足AD=CE.

（1）求證：OD=OE；
（2）連接BC，當BC=時，求∠DOE的度數.

Answer 1

(1)詳見解析；（2）∠DOE=45°.

試題分析：(1)連接OA,可考慮證明△AOD≌△COE，有弧AB=弧AC,可得：∠AOB=∠AOC，在等腰⊿AOB和等腰⊿AOC中，兩頂角相等，所以它們的底角也相等，從而可得：∠BAO=∠ACO ，再結合題中條件：OA=OC,AD=CE,根據“SAS”可證明△AOD≌△COE，從而得證.(2)如圖2，根據垂徑定理BF=CF,由勾股定理求得OF=,進而求得∠AOB=45°,由△AOD≌△COE，可得∠AOD=∠COE，再通過等量變換，即可求出∠DOE的度數.

試題解析：解：（1）證明：連接OA、OB、OC，
∵點A是弧BC的中點，∴∠AOB=∠AOC
∵OA="OC" =OB, ∴∠ABO=∠BAO=∠OAC=∠ACO 
∵AD=CE ∴△AOD≌△COE   ∴OD=OE        4分
(2)解：連接BC交OA于點F
∵AB=AC ∴OA⊥BC ∴BF=
在Rt△BFO中，∴BF=OF∴∠AOB=45°∵△AOD≌△COE∴∠AOD=∠COE
∴∠BOD=∠AOE   ∴∠DOE=∠AOB=45°        8分