【題目】已知拋物線與軸交于、兩點(點在點的左側(cè)),與軸交于點,頂點為.
(1)請求出、兩點的坐標;
(2)將拋物線繞平面內(nèi)的某一點旋轉(zhuǎn)180°,旋轉(zhuǎn)后得到拋物線,拋物線的頂點為,與軸相交于、兩點(點在點的右側(cè)),使得拋物線過點,且以點、、、為頂點的四邊形為平行四邊形,請求出所有滿足條件的拋物線的頂點坐標.
【答案】(1)、;(2)、
【解析】
(1)將x=0代入即可求得點C坐標,將函數(shù)關系式配成頂點式即可求得點M的坐標;
(2)先根據(jù)中心對稱可得點在拋物線的圖像上,當點拋物線對稱軸的右側(cè)時,過點M作MG⊥y軸于點G,過點作M'G⊥x軸于點H,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得CM∥M'F,CM=M'F,進而可證得△CGM≌△M'HF,從而可得點M'的縱坐標,代入拋物線即可求得點M'的坐標,當點拋物線對稱軸的左側(cè)時,同理可得.
解:(1)當x=0時,y=5,則點C坐標為(0,5),
∵,
∴頂點M的坐標為(3,-4),
(2)∵拋物線繞平面內(nèi)的某一點旋轉(zhuǎn)180°,旋轉(zhuǎn)后得到拋物線,
∴與關于該點成中心對稱
∵經(jīng)過的頂點,
∴經(jīng)過的頂點,
如圖,當點拋物線對稱軸的右側(cè)時,
過點M作MG⊥y軸于點G,過點作M'G⊥x軸于點H,
當四邊形為平行四邊形時,則CM∥M'F,CM=M'F,
∴△CGM≌△M'HF,
∵點C坐標為(0,5),點M的坐標為(3,-4),
∴M'H=CG=5-(-4)=9,
∴點M'的縱坐標為9,
將y=9代入得
,
解得
∴此時點M'的坐標為,
如圖,當點拋物線對稱軸的左側(cè)時,
同理可得,此時點M'的坐標為,
綜上所述,此時點M'的坐標為或
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【題目】如圖,在等腰△ABC中,AB=AC=4,BC=6點D在底邊BC上,且∠DAC=∠ACD,將△ACD沿著AD所在直線翻折,使得點C落到點E處,聯(lián)結(jié)BE,那么BE的長為______.
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【題目】【題目】如圖①,一次函數(shù) y= x - 2 的圖像交 x 軸于點 A,交 y 軸于點 B,二次函數(shù) y= x2 bx c的圖像經(jīng)過 A、B 兩點,與 x 軸交于另一點 C.
(1)求二次函數(shù)的關系式及點 C 的坐標;
(2)如圖②,若點 P 是直線 AB 上方的拋物線上一點,過點 P 作 PD∥x 軸交 AB 于點 D,PE∥y 軸交 AB 于點 E,求 PD+PE 的最大值;
(3)如圖③,若點 M 在拋物線的對稱軸上,且∠AMB=∠ACB,求出所有滿足條件的點 M的坐標.
① ② ③
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【題目】為了了解初三學生的中考體育備考情況,西安鐵一中分校體育組從初三年級全年級學生中隨機抽取部分學生進行測試,現(xiàn)將從報排球項目所有女生中隨機抽取到的60名女生的排球成績(40秒內(nèi)有效墊球個數(shù))進行整理,得到下列圖表中信息:
墊球個數(shù) | 頻數(shù) |
4 | |
26 | |
10 |
請根據(jù)所給信息,解答下列問題:
(1)__________,__________;
(2)這60名學生墊球個數(shù)的中位數(shù)落在__________段;
(3)全校報考排球項目女生共有450人,根據(jù)以往的經(jīng)驗墊球個數(shù)在30個以上(包含30個)在中考中能取得良好以上成績,請估計中考體育考試中女生排球項目達到良好以上的女生人數(shù).
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【題目】拋物線y=x2+2ax-3與x軸交于A、B(1,0)兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,將拋物線沿y軸平移m(m>0)個單位,當平移后的拋物線與線段OA有且只有一個交點時,則m的取值范圍是_______________
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【題目】我市公交總公司為節(jié)約資源同時惠及民生,擬對一些乘客數(shù)量較少的路線換成中巴車.該公司計劃購買臺中巴車,現(xiàn)有甲、乙兩種型號,已知購買一臺甲型車比購買一臺乙型車少萬元,購買臺甲型車比購買臺乙型車多萬元.
(1)問購買一臺甲型車和一臺乙型車分別需要多少萬元?
(2)經(jīng)了解,每臺甲型車每年節(jié)省費用萬元,每臺乙型車每年節(jié)省費用萬元,若要使購買的這批中巴車每年至少能節(jié)省萬,則購買甲型車至少多少臺?
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,以BC為直徑的⊙O交AC于點D,過點D作⊙O的切線交AB于點M,交CB延長線于點N,連接OM,OC=1.
(1)求證:AM=MD;
(2)填空:
①若DN,則△ABC的面積為 ;
②當四邊形COMD為平行四邊形時,∠C的度數(shù)為 .
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【題目】已知,在平面直角坐標系xOy中,點A的坐標為(0,2),點P(m,n)是拋物線上的一個動點.
(1)如圖1,過動點P作PB⊥x軸,垂足為B,連接PA,請通過測量或計算,比較PA與PB的大小關系:PA_____PB(直接填寫“>”“<”或“=”,不需解題過程);
(2)請利用(1)的結(jié)論解決下列問題:
①如圖2,設C的坐標為(2,5),連接PC,AP+PC是否存在最小值?如果存在,求點P的坐標;如果不存在,簡單說明理由;
②如圖3,過動點P和原點O作直線交拋物線于另一點D,若AP=2AD,求直線OP的解析式.
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