Question

【題目】如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點A、B、C均在格點上．

（1）∠ACB的大小為　 　；

（2）在如圖所示的網(wǎng)格中以A為中心，取旋轉(zhuǎn)角等于∠BAC，把△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)，請用無刻度的直尺，畫出旋轉(zhuǎn)后的△AB'C'，保留作圖痕跡，不要求證明；

（3）點P是BC邊上任意一點，在（2）的旋轉(zhuǎn)過程中，點P的對應點為P'，當線段CP'最短時，CP'的長度為　 　．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）利用勾股定理的逆定理即可解決問題．

（2）如圖，延長AC到格點B′，使得AB′＝AB＝，取格點E，F，G，H，連接EG，FH交于點Q，取格點E′，F′．G′，H′，連接E′G′，F′H′交于點Q′，作直線AQ′，直線B′Q交于點C′，△AB′C′即為所求．

（3）通過將點B以A為中心，取旋轉(zhuǎn)角等于∠BAC旋轉(zhuǎn)，找到線段BC旋轉(zhuǎn)后所得直線FG，只需找到點C到FG的垂足即為P′．

（1）由網(wǎng)格圖可知

，，，

∵AC2+BC2＝AB2

∴由勾股定理逆定理，△ABC為直角三角形．

∴∠ACB＝90°

故答案為：90°．

（2）如圖，延長AC到格點B′，使得AB′＝AB＝，取格點E，F，G，H，連接EG，FH交于點Q，取格點E′，F′．G′，H′，連接E′G′，F′H′交于點Q′，作直線AQ′，直線B′Q交于點C′，△AB′C′即為所求．

（3）作圖過程如下：

取格點D，E，連接DE交AB于點T；取格點M，N，連接MN交BC延長線于點G：取格點F，連接FG交TC延長線于點P′，則點P′即為所求

證明：連CF

∵AC，CF為正方形網(wǎng)格對角線

∴A、C、F共線

∴ ,

由圖形可知： ， ，

∵ ， ，

∴，∵∠GCF＝∠ACB，

∴△ACB∽△GCF

∴∠GFC＝∠B

∵

∴當BC邊繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)∠CAB時，點B與點F重合，點C在射線FG上．

由作圖可知T為AB中點

∴∠TCA＝∠TAC

∴∠F+∠P′CF＝∠B+∠TCA＝∠B+∠TAC＝90°

∴CP′⊥GF

此時，CP′最短

故答案為：如圖，取格點D，E，連接DE交AB于點T；取格點M，N，連接MN交BC延長線于點G：取格點F，連接FG交TC延長線于點P′，則點P′即為所求．