【題目】如圖,平面直角坐標系中,直線AB:交y軸于點A(0,1),交x軸于點B.直線x=1交AB于點D,交x軸于點E,P是直線x=1上一動點,且在點D的上方,設(shè)P(1,n).
(1)求直線AB的解析式和點B的坐標;
(2)求△ABP的面積(用含n的代數(shù)式表示);
(3)當S△ABP=2時,以PB為邊在第一象限作等腰直角三角形BPC,求出點C的坐標.
【答案】(1) AB的解析式是y=-x+1.點B(3,0).(2)n-1;(3) (3,4)或(5,2)或(3,2).
【解析】
試題(1)把A的坐標代入直線AB的解析式,即可求得b的值,然后在解析式中,令y=0,求得x的值,即可求得B的坐標;
(2)過點A作AM⊥PD,垂足為M,求得AM的長,即可求得△BPD和△PAB的面積,二者的和即可求得;
(3)當S△ABP=2時,n-1=2,解得n=2,則∠OBP=45°,然后分A、B、P分別是直角頂點求解.
試題解析:(1)∵y=-x+b經(jīng)過A(0,1),
∴b=1,
∴直線AB的解析式是y=-x+1.
當y=0時,0=-x+1,解得x=3,
∴點B(3,0).
(2)過點A作AM⊥PD,垂足為M,則有AM=1,
∵x=1時,y=-x+1=,P在點D的上方,
∴PD=n-,S△APD=PDAM=×1×(n-)=n-
由點B(3,0),可知點B到直線x=1的距離為2,即△BDP的邊PD上的高長為2,
∴S△BPD=PD×2=n-,
∴S△PAB=S△APD+S△BPD=n-+n-=n-1;
(3)當S△ABP=2時,n-1=2,解得n=2,
∴點P(1,2).
∵E(1,0),
∴PE=BE=2,
∴∠EPB=∠EBP=45°.
第1種情況,如圖1,∠CPB=90°,BP=PC,過點C作CN⊥直線x=1于點N.
∵∠CPB=90°,∠EPB=45°,
∴∠NPC=∠EPB=45°.
又∵∠CNP=∠PEB=90°,BP=PC,
∴△CNP≌△BEP,
∴PN=NC=EB=PE=2,
∴NE=NP+PE=2+2=4,
∴C(3,4).
第2種情況,如圖2∠PBC=90°,BP=BC,
過點C作CF⊥x軸于點F.
∵∠PBC=90°,∠EBP=45°,
∴∠CBF=∠PBE=45°.
又∵∠CFB=∠PEB=90°,BC=BP,
∴△CBF≌△PBE.
∴BF=CF=PE=EB=2,
∴OF=OB+BF=3+2=5,
∴C(5,2).
第3種情況,如圖3,∠PCB=90°,CP=EB,
∴∠CPB=∠EBP=45°,
在△PCB和△PEB中,
∴△PCB≌△PEB(SAS),
∴PC=CB=PE=EB=2,
∴C(3,2).
∴以PB為邊在第一象限作等腰直角三角形BPC,點C的坐標是(3,4)或(5,2)或(3,2).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,四邊形OABC是菱形,點C的坐標為(4,0),∠AOC=60°,垂直于x軸的直線l從y軸出發(fā),沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度向右平移,設(shè)直線l與菱形OABC的兩邊分別交于點M,N(點M在點N的上方),若△OMN的面積為S,直線l的運動時間為t 秒(0≤t≤4),則能大致反映S與t的函數(shù)關(guān)系的圖象是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】如圖,菱形ABCD中,點P是CD的中點,∠BCD=60°,射線AP交BC的延長線于點E,射線BP交DE于點K,點O是線段BK的中點,作BM⊥AE于點M,作KN⊥AE于點N,連結(jié)MO、NO,以下四個結(jié)論:①△OMN是等腰三角形;②tan∠OMN= ;③BP=4PK;④PMPA=3PD2 , 其中正確的是( )
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
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【題目】如圖所示,把Rt△ABC放在直角坐標系內(nèi),其中∠CAB=90°,BC=5,點A、B的坐標分別是(1,0),(4,0),將△ABC沿x軸向右平移,當點C落在直線y=2x-6上時,線段BC掃過的圖形的面積為( )
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
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【題目】如圖,正方形OABC和正方形CDEF在平面直角坐標系中,點O,C,F(xiàn)在y軸上,點O為坐標原點,點M為OC的中點,拋物線y=ax2+b經(jīng)過M,B,E三點,則 的值為 .
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【題目】 如圖,△ABC是等邊三角形,P是三角形內(nèi)一點,PD∥AB,PE∥BC,PF∥AC,若△ABC的周長為18,則PD+PE+PF=( 。
A. 18B. 9
C. 6D. 條件不夠,不能確定
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過點A(﹣3,0)、B(1,0)、C(﹣2,1),交y軸于點M.
(1)求拋物線的表達式;
(2)D為拋物線在第二象限部分上的一點,作DE垂直x軸于點E,交線段AM于點F,求線段DF長度的最大值,并求此時點D的坐標;
(3)拋物線上是否存在一點P,作PN垂直x軸于點N,使得以點P、A、N為頂點的三角形與△MAO相似(不包括全等)?若存在,求點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,BD是∠ABC的平分線,ED∥BC,∠4=∠5,則EF也是∠AED的平分線.完成下列推理過程:
證明:∵BD是∠ABC的平分線(已知)
∴∠1=∠2(角平分線定義)
∵ED∥BC(已知)
∴∠5=∠2( )
∴∠1=∠5(等量代換)
∵∠4=∠5(已知)
∴EF∥ ( )
∴∠3=∠1( )
∴∠3=∠4(等量代換)
∴EF是∠AED的平分線(角平分線定義)
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【題目】如圖,等腰三角形ABC的底角為72°,腰AB的垂直平分線交另一腰AC于點E,垂足為D,連接BE,則下列結(jié)論錯誤的是( )
A. ∠EBC為36° B. BC = AE
C. 圖中有2個等腰三角形 D. DE平分∠AEB
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