【題目】如圖,在⊙O中,直徑CD垂直于不過圓心O的弦AB,垂足為點(diǎn)N,連接AC,點(diǎn)E在AB上,且AE=CE
(1)求證:AC2=AEAB;
(2)過點(diǎn)B作⊙O的切線交EC的延長線于點(diǎn)P,試判斷PB與PE是否相等,并說明理由;
(3)設(shè)⊙O半徑為4,點(diǎn)N為OC中點(diǎn),點(diǎn)Q在⊙O上,求線段PQ的最小值.

【答案】
(1)證明:如圖1,連接BC,

∵CD為⊙O的直徑,AB⊥CD,

=

∴∠A=∠ABC,

∵EC=AE,

∴∠A=∠ACE,

∴∠ABC=∠ACE,

∵∠A=∠A,

∴△AEC∽△ACB,

,

∴AC2=AEAB


(2)解:PB=PE,理由是:

如圖2,連接OB,

∵PB為⊙O的切線,

∴OB⊥PB,

∴∠OBP=90°,

∴∠PBN+∠OBN=90°,

∵∠OBN+∠COB=90°,

∴∠PBN=∠COB,

∵∠PEB=∠A+∠ACE=2∠A,

∠COB=2∠A,

∴∠PEB=∠COB,

∴∠PEB=∠PBN,

∴PB=PE


(3)解:如圖3,∵N為OC的中點(diǎn),

∴ON= OC= OB,

Rt△OBN中,∠OBN=30°,

∴∠COB=60°,

∵OC=OB,

∴△OCB為等邊三角形,

∵Q為⊙O任意一點(diǎn),

連接PQ、OQ,

因?yàn)镺Q為半徑,是定值4,

則PQ+OQ的值最小時(shí),PQ最小,

當(dāng)P、Q、O三點(diǎn)共線時(shí),PQ最小,

∴Q為OP與⊙O的交點(diǎn)時(shí),PQ最小,

∠A= ∠COB=30°,

∴∠PEB=2∠A=60°,

∠ABP=90°﹣30°=60°,

∴△PBE是等邊三角形,

Rt△OBN中,BN= =2 ,

∴AB=2BN=4 ,

設(shè)AE=x,則CE=x,EN=2 ﹣x,

Rt△CNE中,x2=22+(2 ﹣x)2,

x= ,

∴BE=PB=4 =

Rt△OPB中,OP= = =

∴PQ= ﹣4=

則線段PQ的最小值是


【解析】(1)證明△AEC∽△ACB,列比例式可得結(jié)論;(2)如圖2,證明∠PEB=∠COB=∠PBN,根據(jù)等角對等邊可得:PB=PE;(3)如圖3,先確定線段PQ的最小值時(shí)Q的位置:因?yàn)镺Q為半徑,是定值4,則PQ+OQ的值最小時(shí),PQ最小,當(dāng)P、Q、O三點(diǎn)共線時(shí),PQ最小,先求AE的長,從而得PB的長,最后利用勾股定理求OP的長,與半徑的差就是PQ的最小值.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,AB=CD=15,AC平分∠BAD,AC與BD交于點(diǎn)O,將△ABD繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),得到△EFD,旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<180°)點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F

(1)求證:四邊形形ABCD是菱形
(2)若∠BAD=30°,DE邊為與AB邊相交于點(diǎn)M,當(dāng)點(diǎn)F恰好落在AC上時(shí),求證:MD=ME
(3)若△ABD的周長是48,EF邊與BC邊交于點(diǎn)N,DF邊與BC邊交于點(diǎn)P,在旋轉(zhuǎn)的過程中,當(dāng)△FNP是直角三角形是,△FNP的面積是多少.

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B.12
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(1)求證:AD平分∠BAC;
(2)若CD=1,求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留π).

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(1)填空:點(diǎn)A的坐標(biāo)為
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