Question

在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OBCD是正方形，且D（0，2），點E是線段OB延長線上一點，M是線段OB上一動點（不包括點O、B），作MN⊥DM，垂足為M，交∠CBE的平分線于點N .
（1）寫出點C的坐標(biāo)；
（2）求證：MD = MN；
（3）連接DN交BC于點F，連接FM，下列兩個結(jié)論：①FM的長度不變；②MN平分∠FMB，其中只有一個結(jié)論是正確的，請你指出正確的結(jié)論，并給出證明.
 

Answer 1

（1）C（2，2）；
（2）在OD上取OH = OM，

可證△DHM≌△MBN
（3）MN平分∠FMB成立。證明如下：
在BO延長線上取OA = CF，

可證△DOA≌△DCF，△DMA≌△DMF，
FM ="MA" =OM+CF（不為定值），∠DFM =∠DAM =∠DFC，
過M作MP⊥DN于P，則∠FMP =∠CDF，
由（2）可知∠NMF +∠FMP =∠PMN = 45°，
∠NMB =∠MDO，∠MDO +∠CDF = 45°，
進(jìn)一步得∠NMB =∠NMF，即MN平分∠FMB

（1）根據(jù)四邊形OBCD是正方形所以點C的坐標(biāo)應(yīng)該是C（2，2）；
（2）可通過構(gòu)建全等三角形來求解．在OD上取OH=OM，通過證三角形DHM和MBN全等來得出DM=MN．
（3）本題也是通過構(gòu)建全等三角形來求解的．在BO延長線上取OA=CF，通過三角形OAD，F(xiàn)DC和三角形DAM，DMF這兩對全等三角形來得出FM和OM，CF的關(guān)系，從而得出FM是否是定值．然后再看∠FMN是否與∠NME相等．