Question

【題目】如圖，公路為東西走向，在點北偏東方向上，距離千米處是村莊，在點北偏東方向上，距離千米處是村莊；要在公路旁修建一個土特產(chǎn)收購站(取點在上)，使得，兩村莊到站的距離之和最短，請在圖中作出的位置（不寫作法）并計算：

（1），兩村莊之間的距離；

（2）到、距離之和的最小值.（參考數(shù)據(jù)：sin36.5°＝0.6，cos36.5°＝0.8，tan36.5°＝0.75計算結(jié)果保留根號.）

Answer 1

【答案】(1) M，N兩村莊之間的距離為千米;(2) 村莊M、N到P站的最短距離和是5千米．

【解析】

（1）作N關(guān)于AB的對稱點N'與AB交于E，連結(jié)MN’與AB交于P，則P為土特產(chǎn)收購站的位置．求出DN，DM，利用勾股定理即可解決問題．
（2）由題意可知，M、N到AB上點P的距離之和最短長度就是MN′的長．

解：作N關(guān)于AB的對稱點N'與AB交于E，連結(jié)MN’與AB交于P，則P為土特產(chǎn)收購站的位置．

（1）在Rt△ANE中，AN=10，∠NAB=36.5°

∴NE=ANsin∠NAB=10sin36.5°=6，

AE=ANcos∠NAB=10cos36.5°=8，

過M作MC⊥AB于點C，

在Rt△MAC中，AM=5，∠MAB=53.5°

∴AC=MAsin∠AMB=MAsin36.5°=3，

MC=MAcos∠AMC=MAcos36.5°=4，

過點M作MD⊥NE于點D，

在Rt△MND中，MD=AE-AC=5，

ND=NE-MC=2，

∴MN==，

即M，N兩村莊之間的距離為千米．

（2）由題意可知，M、N到AB上點P的距離之和最短長度就是MN′的長．

DN′=10，MD=5，在Rt△MDN′中，由勾股定理，得

MN′==5（千米）

∴村莊M、N到P站的最短距離和是5千米．