Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+2ax﹣3a（a＜0）與x軸相交于A、B兩點(diǎn)與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，直線DC與x軸相交于點(diǎn)E．

（1）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為　 　，OE＝　 　；

（2）OE的長(zhǎng)是否與a值有關(guān)，說(shuō)明你的理由；

（3）設(shè)∠DEO＝β，當(dāng)β從30°增加到60°的過(guò)程中，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)；

（4）以DE為斜邊，在直線DE的右上方作等腰Rt△PDE．設(shè)P（m，n），請(qǐng)直接寫出n關(guān)于m的函數(shù)解析式及自變量m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（﹣1，4），3（2）OE的長(zhǎng)與a值無(wú)關(guān)（3）（4）n＝m+1（m＞﹣1）

【解析】

（1）求出直線CD的解析式即可解決問(wèn)題；

（2）利用參數(shù)a，求出直線CD的解析式求出點(diǎn)E坐標(biāo)即可判斷；

（3）求出落在特殊情形下的a的值即可點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)；

（4）如圖，作PM⊥對(duì)稱軸于M，PN⊥AB于N．兩條全等三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．

（1）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，

∴頂點(diǎn)D（﹣1，4），C（0，3），

∴直線CD的解析式為y＝﹣x+3，

∴E（3，0），

∴OE＝3，

故答案為：（﹣1，4），3；

（2）結(jié)論：OE的長(zhǎng)與a值無(wú)關(guān)．

理由：∵y＝ax2+2ax﹣3a，

∴C（0，﹣3a），D（﹣1，﹣4a），

∴直線CD的解析式為y＝ax﹣3a，

當(dāng)y＝0時(shí)，x＝3，

∴E（3，0），

∴OE＝3，

∴OE的長(zhǎng)與a值無(wú)關(guān)．

（3）如圖，

當(dāng)β＝30°時(shí)，OC＝OE＝，

∴﹣3a＝，

∴a＝﹣，此時(shí)點(diǎn)D′的坐標(biāo)是（﹣1，）．

當(dāng)β＝60°時(shí)，在Rt△OCE中，OC＝OE＝3，

∴﹣3a＝3，

∴a＝﹣，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)是（﹣1，4）．

∴點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為：4﹣＝；

（4）如圖，作PM⊥對(duì)稱軸于M，PN⊥x軸于N．

∵PD＝PE，∠PMD＝∠PNE＝90°，∠DPE＝∠MPN＝90°，

∴∠DPM＝∠EPN，

∴△DPM≌△EPN（AAS），

∴PM＝PN，DM＝EN，

∵D（﹣1，﹣4a），E（3，0），

∴由PM＝PN得到：n＝m+1．

由DM＝EN得到：m﹣3＝﹣4a﹣n．

當(dāng)頂點(diǎn)D在x軸上時(shí)，P（1，2），此時(shí)m的值1，

∵拋物線的頂點(diǎn)在第二象限，

∴m＞﹣1．

∴n＝m+1（m＞﹣1）．