Question

【題目】如圖①，E是直線AB，CD內部一點，AB∥CD，連接EA，ED．
（1）探究猜想： ①若∠A=20°，∠D=40°，求∠AED的度數
②猜想圖①中∠AED，∠EAB，∠EDC的關系，并用兩種不同的方法證明你的結論．
（2）拓展應用： 如圖②，射線FE與l1 ， l2交于分別交于點E、F，AB∥CD，a，b，c，d分別是被射線FE隔開的4個區(qū)域（不含邊界，其中區(qū)域a，b位于直線AB上方，P是位于以上四個區(qū)域上的點，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的關系（任寫出兩種，可直接寫答案）．

Answer 1

【答案】
（1）解：①過E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥EF∥CD，

∴∠A=∠AEF=20°，∠D=∠DEF=40°，

∴∠AED=∠AEF+∠DEF=∠A+∠D=60°，

②∠AED=∠A+∠D，

證明：方法一、延長DE交AB于F，如圖1，

∵AB∥CD，

∴∠DFA=∠D，

∴∠AED=∠A+∠DFA；

方法二、過E作EF∥AB，如圖2，

∵AB∥CD，

∴AB∥EF∥CD，

∴∠A=∠AEF，∠D=∠DEF，

∴∠AED=∠AEF+∠DEF=∠A+∠D

（2）解：當P在a區(qū)域時，如圖3，∠PEB=∠PFC+∠EPF；

當P點在b區(qū)域時，如圖4，∠PFC=∠PEB+∠EPF；

當P點在區(qū)域c時，如圖5，∠EPF+∠PEB+∠PFC=360°；

當P點在區(qū)域d時，如圖6，∠EPF=∠PEB+∠PFC．

【解析】（1）①過E作EF∥AB，根據AB∥CD，可得AB∥EF∥CD，再根據兩直線平行，內錯角相等進行計算即可；②作輔助線構造內錯角，依據兩直線平行，內錯角相等或三角形外角性質，進行計算即可；（2）根據a，b，c，d分別是被射線FE隔開的4個區(qū)域，P是位于四個區(qū)域上的點，畫出對應的圖形，進而得出結論．
【考點精析】本題主要考查了平行線的性質和三角形的外角的相關知識點，需要掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補；三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角才能正確解答此題．