Question

【題目】如圖，點(diǎn)P( x, y1)與Q (x, y2)分別是兩個(gè)函數(shù)圖象C1與C2上的任一點(diǎn). 當(dāng)a ≤ x ≤ b時(shí)，有-1 ≤ y1 - y2 ≤ 1成立，則稱這兩個(gè)函數(shù)在a ≤ x ≤ b上是“相鄰函數(shù)”，否則稱它們?cè)?/span>a ≤ x ≤ b上是“非相鄰函數(shù)”.

例如，點(diǎn)P(x, y1)與Q (x, y2)分別是兩個(gè)函數(shù)y = 3x+1與y = 2x - 1圖象上的任一點(diǎn)，當(dāng)-3 ≤ x ≤ -1時(shí)，y1 - y2 = (3x + 1) - (2x - 1) = x + 2，通過構(gòu)造函數(shù)y = x + 2并研究該函數(shù)在-3 ≤ x ≤ -1上的性質(zhì)，得到該函數(shù)值的范圍是-1 ≤ y ≤ 1，所以-1 ≤ y1 - y2 ≤ 1成立，因此這兩個(gè)函數(shù)在-3 ≤ x ≤ -1上是“相鄰函數(shù)”.

（1）判斷函數(shù)y = 3x + 2與y = 2x + 1在－2 ≤ x≤ 0上是否為“相鄰函數(shù)”，說明理由；

（2）若函數(shù)y = x2 - x與y = x - a在0 ≤ x ≤ 2上是“相鄰函數(shù)”，求a的取值范圍；

（3）若函數(shù)y =與y =－2x + 4在1 ≤ x ≤ 2上是“相鄰函數(shù)”，直接寫出a的最大值與最小值.

Answer 1

【答案】（1）是“相鄰函數(shù)”，理由見解析；（2）；（3）的最大值是2， 的最小值1.

【解析】試題分析：

（1）直接利用相鄰函數(shù)的定義結(jié)合一次函數(shù)增減性，得出當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)有最大值1，當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)有最小值-1，即-1≤y≤1，進(jìn)而判斷即可；

（2）直接利用相鄰函數(shù)的定義結(jié)合二次函數(shù)增減性，得出當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)有最小值a-1，當(dāng)x=0或x=2時(shí)，函數(shù)有最大值a，即a-1≤y≤a，進(jìn)而判斷即可；

（3）直接利用相鄰函數(shù)的定義結(jié)合函數(shù)增減性，得出當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)有最小值a-2，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)有最大值，即a-2≤y≤，進(jìn)而判斷最值即可．

試題解析：（1）是“相鄰函數(shù)”.

理由如下： ，構(gòu)造函數(shù).

∵在上隨著x的增大而增大，

∴當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)有最大值1，當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)有最小值-1，即

∴-1≤y-y≤1.

即函數(shù)在是“相鄰函數(shù)”.

（2）

構(gòu)造函數(shù)

∵

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,a-1)

又∵拋物線開口向上，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有最大，即,

∵函數(shù)與在 “相鄰函數(shù)”，

∴，即∴.

（3）的最大值是2， 的最小值1.