【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx過A(4,0),B(1,3)兩點(diǎn),點(diǎn)C、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,過點(diǎn)B作直線BH⊥x軸,交x軸于點(diǎn)H.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn),且位于第四象限,當(dāng)△ABP的面積為6時,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)M在直線BH上運(yùn)動,點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動,當(dāng)以點(diǎn)C、M、N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形時,請直接寫出此時△CMN的面積.
【答案】
(1)解:把點(diǎn)A(4,0),B(1,3)代入拋物線y=ax2+bx得 ,解得 ,
∴拋物線表達(dá)式為:y=﹣x2+4x;
(2)解:過P點(diǎn)作PD⊥BH交BH于點(diǎn)D,如圖1,
設(shè)點(diǎn)P(m,﹣m2+4m),
BH=AH=3,HD=m2﹣4m,PD=m﹣1,
∵S△ABP=S△ABH+S四邊形HAPD﹣S△BPD,
×3×3+ (3+m﹣1)(m2﹣4m)﹣ (m﹣1)(3+m2﹣4m)=6,
整理得3m2﹣15m=0,解得m1=0(舍去),m2=5,
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(5,﹣5);
(3)解:∵拋物線的對稱性為直線x=2,
而點(diǎn)C、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,
∴C(3,3),
以點(diǎn)C、M、N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形時,分三類情況討論:
①以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)且M在x軸上方時,如圖2,
CM=MN,∠CMN=90°,易證得△CBM≌△MHN,
∴BC=MH=2,BM=HN=3﹣2=1,
∴MC= = ,
∴S△CMN= × × = ;
②以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)且M在x軸下方時,如圖3,
過點(diǎn)M作DE⊥y軸,作NE⊥DE于E,CD⊥DE于D,作輔助線,易得Rt△NEM≌Rt△MDC,
∴MD=NE=BC=2,EM=CD=BM=3+2=5,
∴CM= = ,
∴S△CMN= × × = ;
③以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)且N在y軸左側(cè)時,如圖4,
CN=MN,∠MNC=90°,易得Rt△NEM≌Rt△CDN,
∴EM=DN=BH=3,NE=CD=BD+BC=EM+BC=5,
∴CN= = ,
∴S△CMN= × × =17;
④以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)且N在y軸右側(cè)時,如圖5,
易得Rt△NEM≌Rt△CDN,
∴EM=DN=BH=3,NE=CD=BD﹣BC=EM﹣BC=1,
∴CN= = ,
∴S△CMN= × × =5;
⑤以C為直角頂點(diǎn)時,不能構(gòu)成滿足條件的等腰直角三角形;
綜上所述:△CMN的面積為: 或 或17或5.
【解析】本題是二次函數(shù)與幾何的綜合題目.此題目綜合性比較強(qiáng),解答此題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形做出輔助線.
(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的表達(dá)式;
(2)過P作PD⊥BH交BH于點(diǎn)D,設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為,則BH=AH=3,HD=m2-4m,PD=m-1,根據(jù)S△ABP+S四邊形HAPD-S△BPD得到關(guān)于m的方程,解方程可得P的坐標(biāo);
(3)先利用拋物線的對稱性得到C(3,3),下面分五種情況討論:①以點(diǎn)M在直角頂點(diǎn)且M在x軸上方時;②以點(diǎn)M在直角頂點(diǎn)且M在x軸下方時;③以點(diǎn)N在直角頂點(diǎn)且N在y軸左側(cè)時;④以點(diǎn)N在直角頂點(diǎn)且N在y軸右側(cè)時;⑤以點(diǎn)C在直角頂點(diǎn)時,不能構(gòu)成滿足條件的等腰直角三角形.
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【題目】某數(shù)學(xué)興趣小組在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽取了50名同學(xué)進(jìn)行“舌尖上的長沙﹣我最喜愛的長沙小吃”調(diào)查活動,將調(diào)查問卷整理后繪制成如圖所示的不完整條形統(tǒng)計(jì)圖:
請根據(jù)所給信息解答以下問題:
(1)請補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)若全校有2000名同學(xué),請估計(jì)全校同學(xué)中最喜愛“臭豆腐”的同學(xué)有多少人?
(3)在一個不透明的口袋中有四個完全相同的小球,把它們分別標(biāo)號為四種小吃的序號A、B、C、D,隨機(jī)地摸出一個小球然后放回,再隨機(jī)地摸出一個小球,請用列表或畫樹形圖的方法,求出恰好兩次都摸到“A”的概率.
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【題目】如圖,在矩形紙片ABCD中,AB=4,BC=6,將△ABC沿AC折疊,使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處,CE交AD于點(diǎn)F,則DF的長等于( )
A. B. C. D.
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【題目】某課題組為了解全市七年級學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的掌握情況,在一次數(shù)學(xué)檢測中,從全市2000名年級考生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下圖表:
(1)表中和所表示的數(shù)分別為: , ;
(2)請?jiān)趫D中補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(3)如果把成績在100分以上(含100分)定為優(yōu)秀,那么該市2000名七年級考生數(shù)學(xué)成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生約有多少名?
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)D,E分別是邊BC,AB上的中點(diǎn),連接DE并延長至點(diǎn)F,使EF=2DF,連接CE、AF.
(1)證明:AF=CE;
(2)當(dāng)∠B=30°時,試判斷四邊形ACEF的形狀并說明理由.
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【題目】如圖,O是AC的中點(diǎn),B是線段AC上任意一點(diǎn),M是AB的中點(diǎn),N是BC的中點(diǎn),那么下列四個等式中,不成立的是( )
A.MN=OCB.MO=(AC-AB)
C.ON=(AC - CB)D.MN=(AC+OB)
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【題目】如圖,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE分別是∠ABC、∠ACB的平分線,且交于點(diǎn)O,則圖中等腰三角形有________
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【題目】一輛汽車在公路上行駛,其所走的路程和所用的時間可用下表表示:
時間t(min) | 1 | 2.5 | 5 | 10 | 20 | 50 | … |
路程s(km) | 2 | 5 | 10 | 20 | 40 | 100 | … |
(1)在這個變化過程中,自變量、因變量各是什么?
(2)當(dāng)汽車行駛的路程為20 km時,所花的時間是多少分鐘?
(3)隨著t逐漸變大,s的變化趨勢是什么?
(4)路程s與時間t之間的函數(shù)表達(dá)式為______________.
(5)按照這一行駛規(guī)律,當(dāng)所花的時間t是300 min時,汽車行駛的路程s是多少千米?
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