【題目】在平面直角坐標系xOy中,拋物線經(jīng)過點A(0,2)和B(1,).

(1)求該拋物線的表達式;

(2)已知點C與點A關于此拋物線的對稱軸對稱,點D在拋物線上,且點D的橫坐標為4,求點C與點D的坐標;

(3)在(2)的條件下,將拋物線在點A,D之間的部分(含點A,D)記為圖象G,如果圖象G向下平移t(t>0)個單位后與直線BC只有一個公共點,求t的取值范圍.

【答案】(1)y=x2﹣x+2;(2)C點坐標為(2,2);D點坐標為(4,6);(3)當1<t≤3時,圖象G向下平移t(t>0)個單位后與直線BC只有一個公共點.

【解析】

試題分析:(1)把A點和B點坐標代入得到關于b、c的方程組,然后解方程組求出b、c即可得到拋物線解析式;

(2)利用配方法得到y(tǒng)=(x﹣1)2+,則拋物線的對稱軸為直線x=1,利用點C與點A關于直線x=1對稱得到C點坐標為(2,2);然后利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征求D點坐標;

(3)畫出拋物線,如圖,先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=x+1,再利用平移的性質得到圖象G向下平移1個單位時,點A在直線BC上;圖象G向下平移3個單位時,點D在直線BC上,由于圖象G向下平移t(t>0)個單位后與直線BC只有一個公共點,所以1<t≤3.

解:(1)把A(0,2)和B(1,)代入,解得,

所以拋物線解析式為y=x2﹣x+2;

(2)y=x2﹣x+2=(x﹣1)2+,

拋物線的對稱軸為直線x=1,

點C與點A關于此拋物線的對稱軸對稱,

C點坐標為(2,2);

當x=4時,y=x2﹣x+2=8﹣4+2=6,

D點坐標為(4,6);

(3)如圖,

設直線BC的解析式為y=mx+n,

把B(1,),C(2,2)代入得,解得,

直線BC的解析式為y=x+1,

當x=0時,y=x+1=1,

點圖象G向下平移1個單位時,點A在直線BC上,

當x=4時,y=x+1=3,

點圖象G向下平移3個單位時,點D在直線BC上,

當1<t≤3時,圖象G向下平移t(t>0)個單位后與直線BC只有一個公共點.

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