【題目】如圖甲,在平面直角坐標(biāo)系中,直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B,⊙O的半徑為個(gè)單位長(zhǎng)度,點(diǎn)P為直線y=﹣x+6上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線PC、PD,切點(diǎn)分別為C、D,且PC⊥PD.
(1)判斷四邊形OCPD的形狀并說(shuō)明理由.
(2)求點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)若直線y=﹣x+6沿x軸向左平移得到一條新的直線y1=﹣x+b,此直線將⊙O的圓周分得兩段弧長(zhǎng)之比為1:3,請(qǐng)直接寫出b的值.
(4)若將⊙O沿x軸向右平移(圓心O始終保持在x軸上),試寫出當(dāng)⊙O與直線y=﹣x+6有交點(diǎn)時(shí)圓心O的橫坐標(biāo)m的取值范圍.(直接寫出答案)
【答案】(1)四邊形OCPD為正方形,見解析;(2)P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4)或(4,2);(3)b的值為或;(4)
【解析】
(1)根據(jù)切線的性質(zhì)得OC⊥PC,PD⊥PD,加上PC⊥PD,則可判斷四邊形OCPD為矩形,然后利用OC=OD可判斷四邊形OCPD為正方形;
(2)利用正方形的性質(zhì)得,利用勾股定理建立方程,解方程即可得出結(jié)論;
(3)利用直線y1=﹣x+b將⊙O的圓周分得兩段弧長(zhǎng)之比為1:3可得到直線y1=kx+b與坐標(biāo)的交點(diǎn)A和點(diǎn)B為⊙O與坐標(biāo)的交點(diǎn),然后討論:當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)B都在坐標(biāo)軸的正半軸上或當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)B都在坐標(biāo)軸的負(fù)半軸上時(shí),易得b的值為±;
(4)先確定A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo),再判斷△OAB為等腰直角三角形,則∠ABO=45°,然后討論:當(dāng)圓移動(dòng)到點(diǎn)O1時(shí)與直線AB相切,作O1M⊥AB,如圖丙,根據(jù)切線的性質(zhì)得O1M=,利用等腰直角三角形的性質(zhì)得求出O1與O'2的坐標(biāo),于是根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得到⊙O與直線y=﹣x+6有交點(diǎn)時(shí)圓心O的橫坐標(biāo)m的取值范圍.
解:(1)四邊形OCPD為正方形.
理由如下:連接OC、OD,易知OC⊥PC,OD⊥PD,
又PC⊥PD,
∴四邊形OCPD為矩形,
又OC=OD,
∴四邊形OCPD為正方形.
(2)連接OP,
為正方形,
,
在直線上,
設(shè),
由得:,
解得:或.
點(diǎn)坐標(biāo)為或.
(3)平移后的新直線A′B′交圓于A′B′,分得的兩段弧長(zhǎng)之比為1:3,
分得的劣弧是圓周的,
直線AB與x軸夾角為,,
,
當(dāng)為圓周時(shí),直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)恰好是與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),
當(dāng)AB平移到位置時(shí),;
當(dāng)AB平移到位置時(shí),,
的值為或.
(4)如圖,⊙O沿x軸向右平移過(guò)程中分別在⊙O1處,⊙O2處與直線y=﹣x+6相切,
則圓在O落在O1,O2之間均滿足題意,
在處相切時(shí),為等腰直角三角形,
,.
,同理,在處相切時(shí),,
,
當(dāng)與直線有交點(diǎn)時(shí),圓心O的橫坐標(biāo)m的取值范圍為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,利用一面墻(墻的長(zhǎng)度為15 m),用籬笆圍成一個(gè)矩形花園ABCD,中間再用一道籬笆隔成兩個(gè)小矩形,共用去籬笆42 m.設(shè)平行于墻的一邊BC長(zhǎng)為x m,花園的面積為S m2.
(1)求S與x之間的函數(shù)解析式;
(2)問(wèn)花園面積可以達(dá)到120平方米嗎?如果能,花園的長(zhǎng)和寬各是多少?如果不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖已知拋物線y=﹣x2+(1﹣m)x﹣m2+12交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B(0,3),頂點(diǎn)C位于第二象限,連接AB,AC,BC.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在x軸上是否存在點(diǎn)P,使得△PAB的面積等于△ABC的面積?如果存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)將△ABC沿x軸向右移動(dòng)t個(gè)單位長(zhǎng)度(0<t<1)時(shí),平移后△ABC和△ABO重疊部分的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y=ax2+bx+c(a<0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,0)、B(4,0)與y軸交于點(diǎn)C,tan∠ABC=.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)M在第一象限的拋物線上,ME平行y軸交直線BC于點(diǎn)E,連接AC、CE,當(dāng)ME取值最大值時(shí),求△ACE的面積.
(3)在y軸負(fù)半軸上取點(diǎn)D(0,-1),連接BD,在拋物線上是否存在點(diǎn)N,使∠BAN=∠ACO-∠OBD?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中,點(diǎn)E、F、G分別在邊AB、AD、CD上,EG與BF交于點(diǎn)I,AE=2,BF=EG,DG>AE,則DI的最小值為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,∠ABC=∠BCD=90°,AB=1,AE⊥AD,交BC于點(diǎn)E,EA平分∠BED.
(1)CD的長(zhǎng)是_____;
(2)當(dāng)點(diǎn)F是AC中點(diǎn)時(shí),四邊形ABCD的周長(zhǎng)是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,點(diǎn)D、E分別是AB、BC的中點(diǎn),把△BDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn),連接AD、AE、CD、CE,如圖2.
(1)求證:△BDE∽△BAC.
(2)求△ABE面積最大時(shí),△ADE的面積.
(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)點(diǎn)D落在△ACE的邊所在直線上時(shí),直接寫出CE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù),的最小值為0;.當(dāng)時(shí)有;且對(duì)于任意實(shí)數(shù),.
(1)的對(duì)稱軸為_________,頂點(diǎn)坐標(biāo)為_____________;
(2)當(dāng)時(shí),求的值;
(3)令,試求實(shí)數(shù),使得實(shí)數(shù)最大,當(dāng)時(shí)成立.
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【題目】廊橋是我國(guó)古老的文化遺產(chǎn).如圖,是某座拋物線型的廊橋示意圖,已知拋物線的函數(shù)表達(dá)式為,為保護(hù)廊橋的安全,在該拋物線上距水面高為8米的點(diǎn)、處要安裝兩盞警示燈,則這兩盞燈的水平距離是____米.
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