Question

【題目】如圖，直線y＝x﹣4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，連接BC．

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)M在拋物線上，連接MB，當(dāng)∠MBA+∠CBO＝45°時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CA由C向A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BC由B向C運(yùn)動(dòng)，P、Q的運(yùn)動(dòng)速度都是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，試問在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)D，使P、Q運(yùn)動(dòng)過程中的某一時(shí)刻，以C、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣4，C（﹣3，0）；（2）滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，﹣）或（5，）；（3）存在滿足條件的點(diǎn)D，點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣，﹣）或（1，﹣2）或（﹣，）．

【解析】

第一問求解析式主要利用待定系數(shù)求解，利用一次函數(shù)y＝x﹣4，求解出A點(diǎn)坐標(biāo)和B點(diǎn)坐標(biāo)，然后代入方程即可，

第二問求解M點(diǎn)的坐標(biāo)，需要討論，因?yàn)?/span>∠MBA+∠CBO＝45°是動(dòng)態(tài)的，故當(dāng)BM⊥BC時(shí)是一種情況，利用tan∠M1BE＝tan∠BCO＝，可以給出等式關(guān)系，求出M點(diǎn)，BM與BC關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)是第二種情況，tan∠M2BE＝tan∠CBO＝，可以出給等式關(guān)系，求出M點(diǎn)

第三問，需要討論，因?yàn)樗膫�(gè)點(diǎn)，知曉其中三個(gè)點(diǎn)，可以這樣討論，當(dāng)CP為菱形的邊，CQ為對(duì)角線這是第一種情況，利用解直角三角形求出Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)，就知道D點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后利用cos∠BCO＝，建立等式即可求出菱形的邊長(zhǎng)，利用菱形邊長(zhǎng)和Q點(diǎn)橫坐標(biāo)，即可得到Q點(diǎn)橫坐標(biāo)，當(dāng)CQ和CP均為菱形的邊這是第二種情況，因?yàn)?/span>CP=CQ=BQ，所以Q點(diǎn)在BC的中，即菱形的邊長(zhǎng)出來了，利用解直角三角形即可給出Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)，知道菱形的邊長(zhǎng)，所以D點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都出來了，當(dāng)CQ為菱形的邊，CP為菱形的對(duì)角線這是第三種情況，利用解直角三角形，可以給出Q點(diǎn)坐標(biāo)，我們可以知道D點(diǎn)和Q點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，有菱形的基本性質(zhì)可以知道，所以D點(diǎn)坐標(biāo)出來了

（1）直線解析式y＝x﹣4，

令x＝0，得y＝﹣4；

令y＝0，得x＝4．

∴A（4，0）、B（0，﹣4）．

∵點(diǎn)A、B在拋物線y＝x2+bx+c上，

∴

，

解得 ，

∴拋物線解析式為：y＝x2﹣x﹣4．

令y＝x2﹣x﹣4＝0，

解得：x＝﹣3或x＝4，

∴C（﹣3，0）．

（2）∠MBA+∠CBO＝45°，

設(shè)M（x，y），

①當(dāng)BM⊥BC時(shí)，如答圖2﹣1所示．

∵∠ABO＝45°，

∴∠MBA+∠CBO＝45°，故點(diǎn)M滿足條件．

過點(diǎn)M1作M1E⊥y軸于點(diǎn)E，則M1E＝x，OE＝﹣y，

∴BE＝4+y．

∵tan∠M1BE＝tan∠BCO＝，

∴，

∴直線BM1的解析式為：y＝x﹣4．

聯(lián)立y＝x﹣4與y＝x2﹣x﹣4，

得：x﹣4＝x2﹣x﹣4，

解得：x1＝0，x2＝ ，

∴y1＝﹣4，y2＝﹣ ，

∴M1（，﹣）；

②當(dāng)BM與BC關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，如答圖2﹣2所示．

∵∠ABO＝∠MBA+∠MBO＝45°，∠MBO＝∠CBO，

∴∠MBA+∠CBO＝45°，

故點(diǎn)M滿足條件．

過點(diǎn)M2作M2E⊥y軸于點(diǎn)E，

則M2E＝x，OE＝y，

∴BE＝4+y．

∵tan∠M2BE＝tan∠CBO＝，

∴ ，

∴直線BM2的解析式為：y＝x﹣4．

聯(lián)立y＝x﹣4與y＝x2﹣x﹣4得：x﹣4＝x2﹣x﹣4，

解得：x1＝0，x2＝5，

∴y1＝﹣4，y2＝，

∴M2（5，）．

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（，﹣ ）或（5，）．

（3）設(shè)∠BCO＝θ，則tanθ＝ ，sinθ＝，cosθ＝．

假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)D，設(shè)菱形的對(duì)角線交于點(diǎn)E，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．

①若以CQ為菱形對(duì)角線，如答圖3﹣1．此時(shí)BQ＝t，菱形邊長(zhǎng)＝t．

∴CE＝CQ＝（5﹣t）．

在Rt△PCE中，cosθ＝ ＝ ＝ ，

解得t＝ ．

∴CQ＝5﹣t＝．

過點(diǎn)Q作QF⊥x軸于點(diǎn)F，

則QF＝CQsinθ＝，CF＝CQcosθ＝，

∴OF＝3﹣CF＝．

∴Q（﹣，﹣）．

∵點(diǎn)D1與點(diǎn)Q橫坐標(biāo)相差t個(gè)單位，

∴D1（﹣，﹣）；

②若以PQ為菱形對(duì)角線，如答圖3﹣2．此時(shí)BQ＝t，菱形邊長(zhǎng)＝t．

∵BQ＝CQ＝t，

∴t＝ ，點(diǎn)Q為BC中點(diǎn)，

∴Q（﹣ ，﹣2）．

∵點(diǎn)D2與點(diǎn)Q橫坐標(biāo)相差t個(gè)單位，

∴D2（1，﹣2）；

③若以CP為菱形對(duì)角線，如答圖3﹣3．此時(shí)BQ＝t，菱形邊長(zhǎng)＝5﹣t．

在Rt△CEQ中，cosθ＝ ＝ ＝，

解得t＝．

∴OE＝3﹣CE＝3﹣t＝ ，D3E＝QE＝CQsinθ＝（5﹣ ）× ＝．

∴D3（﹣，）．

綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)D，點(diǎn)D坐標(biāo)為：（﹣，﹣）或（1，﹣2）或（﹣，）．