Question

【題目】如圖，已知拋物線交軸于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接

求拋物線的解析式;

若是軸下方拋物線上的一點(diǎn)，且，請通過計(jì)算或推理判斷與的位置關(guān)系:

在軸左側(cè)的拋物線上是否存在與點(diǎn)不重合的點(diǎn)，使等于中的某個(gè)銳角? 若存在，請求出的值:若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y= x2++4；（2）AD∥BC；（3）存在滿足條件的點(diǎn)P，當(dāng)∠ACP=∠OBC時(shí)，=；當(dāng)∠ACP'=∠OCB時(shí)，=1

【解析】

（1）設(shè)拋物線的解析式為交點(diǎn)式，用待定系數(shù)法求解即可．

（2）由，利用軸上的M（-4，0），確定D的坐標(biāo)，利用的解析式確定它們的位置關(guān)系．

（3）分情況討論：①當(dāng)CP在AC右側(cè)時(shí)，顯然不存在，

②當(dāng)CP在AC左側(cè)時(shí)，當(dāng)∠ACP=∠OBC，證明△ACQ∽△ABC可得答案，

再過作，交拋物線于，利用垂直確定的坐標(biāo)，說明∠ACP' =∠OCB，

所以可得答案．

（1）由題設(shè)可設(shè)拋物線解析式為y=a (x+2)(x+8)，

將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入，得4=16a，解得a=，

∴拋物線解析式為y=(x+2)(x+8)=x2++4，

（2）取點(diǎn)M（-4，0），連接CM并延長，交拋物線于點(diǎn)D，則BM=2AM，

故S△CBM=2S△CAM，S△MBD=2S△MAD，∴S△CBD=2S△CAD，

設(shè)為，

，解得：，

直線CD的解析式為y=x+4

由解得，，

∴D（-6，-2），

同理：lAD：，lBC：，

∴AD∥BC；

（3）存在

①當(dāng)CP在AC右側(cè)時(shí)，滿足∠ACP=∠OBC的CP與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)C，與題意不符，

故此時(shí)不存在；

②當(dāng)CP在AC左側(cè)時(shí)，設(shè)CP交x軸于點(diǎn)Q，

AC=，

∵∠ACP=∠OBC，∠CAQ=∠BAC，

∴△ACQ∽△ABC,

∴，可得AQ=，

則AQ：BQ=5:4，

∴=，

，

，

，解得：

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）

③，

為，

過作，交拋物線于 ，

則設(shè)：為，把代入得：

所以：為，

， 解得：

P' （-10，4），

則由兩點(diǎn)間距離公式得：AP' =，CP' =10，

∵AC2+AP' 2=CP' 2，

∴△AP' C為直角三角形，

∵tan∠ACP' =2，tan∠OCB=2，

∴∠ACP' =∠OCB，

此時(shí)點(diǎn)P滿足條件，

∵AB∥CP'，

∴S△CBD=2S△CAD，

∴=1，

綜上，存在滿足條件的點(diǎn)P，當(dāng)∠ACP=∠OBC時(shí)，=；

當(dāng)∠ACP'=∠OCB時(shí)，=1.