【題目】(發(fā)現(xiàn)問題)愛好數(shù)學的小明在做作業(yè)時碰到這樣的一道題目:
如圖①,點O為坐標原點,⊙O的半徑為1,點A(2,0).動點B在⊙O上,連結(jié)AB,作等邊△ABC(A,B,C為順時針順序),求OC的最大值
(解決問題)小明經(jīng)過多次的嘗試與探索,終于得到解題思路:在圖①中,連接OB,以OB為邊在OB的左側(cè)作等邊三角形BOE,連接AE.
(1)請你找出圖中與OC相等的線段,并說明理由;
(2)求線段OC的最大值.
(靈活運用)
(3)如圖②,在平面直角坐標系中,點A的坐標為(2,0),點B的坐標為(5,0),點P為線段AB外一動點,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,求線段AM長的最大值及此時點P的坐標.
(遷移拓展)
(4)如圖③,BC=4,點D是以BC為直徑的半圓上不同于B、C的一個動點,以BD為邊作等邊△ABD,請直接寫出AC的最值.
【答案】(1)結(jié)論:OC=AE,理由見解析;(2)OC的最大值為3;(3)最大值為2+3;P(2﹣,);(4)AC的最大值為2+2, 2﹣2.
【解析】
(1)結(jié)論:,只要證明即可;
(2)利用三角形的三邊關系即可解決問題;
(3)連接,將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)得到,連接,得到是等腰直角三角形,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到,,根據(jù)當在線段的延長線時,線段取得最大值,即可得到最大值為,過作軸于,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),即可得到結(jié)論;
(4)如圖4中,以為邊作等邊三角形,由,推出,推出欲求的最大值,只要求出的最大值即可,由定值,,推出點在以為直徑的上運動,由圖象可知,當點在上方,時,的值最大.
(1)如圖①中,結(jié)論:OC=AE,
理由:∵△ABC,△BOE都是等邊三角形,
∴BC=BA,BO=BE,∠CBA=∠OBE=60°,
∴∠CBO=∠ABE,
∴△CBO≌△ABE,
∴OC=AE.
(2)在△AOE中,AE≤OE+OA,
∴當E、O、A共線,
∴AE的最大值為3,
∴OC的最大值為3.
(3)如圖1,連接BM,
∵將△APM繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBN,連接AN,則△APN是等腰直角三角形,
∴PN=PA=2,BN=AM,
∵A的坐標為(2,0),點B的坐標為(5,0),
∴OA=2,OB=5,
∴AB=3,
∴線段AM長的最大值=線段BN長的最大值,
∴當N在線段BA的延長線時,線段BN取得最大值(如圖2中)
最大值=AB+AN,
∵AN=AP=2,
∴最大值為2+3;
如圖2,過P作PE⊥x軸于E,
∵△APN是等腰直角三角形,
∴PE=AE=,
∴OE=BO﹣AB﹣AE=5﹣3﹣=2﹣,
∴P(2﹣,).
(4)如圖4中,以BC為邊作等邊三角形△BCM,
∵∠ABD=∠CBM=60°,
∴∠ABC=∠DBM,∵AB=DB,BC=BM,
∴△ABC≌△DBM,
∴AC=MD,
∴欲求AC的最大值,只要求出DM的最大值即可,
∵BC=4=定值,∠BDC=90°,
∴點D在以BC為直徑的⊙O上運動,
由圖象可知,當點D在BC上方,DM⊥BC時,DM的值最大,最大值=2+2,
∴AC的最大值為2+2.
當點A在線段BD的右側(cè)時,同法可得AC的最小值為2﹣2.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點,,,的坐標分別為,,,.線段,,組成的圖形為圖形,點沿移動,設點移動的距離為,直線過點,且在點移動過程中,直線隨運動而運動.
(1)若點過點時,求直線的解析式;
(2)當過點時,求值;
(3)①若直線與圖形有一個交點,直接寫出的取值范圍;
②若直線與圖形有兩個交點,直接寫出的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】鐵嶺市某商貿(mào)公司以每千克40元的價格購進一種干果,計劃以每千克60元的價格銷售,為了讓顧客得到更大的實惠,現(xiàn)決定降價銷售,已知這種干果銷售量y(千克)與每千克降價x(元)(0<x<20)之間滿足一次函數(shù)關系,其圖象如圖所示:
(1)求y與x之間的函數(shù)關系式;
(2)商貿(mào)公司要想獲利2090元,則這種干果每千克應降價多少元?
(3)該干果每千克降價多少元時,商貿(mào)公司獲利最大?最大利潤是多少元?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為弘揚中華傳統(tǒng)文化,黔南州近期舉辦了中小學生“國學經(jīng)典大賽”.比賽項目為:A.唐詩;B.宋詞;C.論語;D.三字經(jīng).比賽形式分“單人組”和“雙人組”.
(1)小麗參加“單人組”,她從中隨機抽取一個比賽項目,恰好抽中“三字經(jīng)”的概率是多少?
(2)小紅和小明組成一個小組參加“雙人組”比賽,比賽規(guī)則是:同一小組的兩名隊員的比賽項目不能相同,且每人只能隨機抽取一次,則恰好小紅抽中“唐詩”且小明抽中“宋詞”的概率是多少?請用畫樹狀圖或列表的方法進行說明.
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【題目】如圖,已知拋物線交軸于兩點,與軸交于點,連接
求拋物線的解析式;
若是軸下方拋物線上的一點,且,請通過計算或推理判斷與的位置關系:
在軸左側(cè)的拋物線上是否存在與點不重合的點,使等于中的某個銳角? 若存在,請求出的值:若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線分別交x軸、y軸于點B,C,正方形AOCD的頂點D在第二象限內(nèi),E是BC中點,OF⊥DE于點F,連結(jié)OE,動點P在AO上從點A向終點O勻速運動,同時,動點Q在直線BC上從某點Q1向終點Q2勻速運動,它們同時到達終點.
(1)求點B的坐標和OE的長;
(2)設點Q2為(m,n),當tan∠EOF時,求點Q2的坐標;
(3)根據(jù)(2)的條件,當點P運動到AO中點時,點Q恰好與點C重合.
①延長AD交直線BC于點Q3,當點Q在線段Q2Q3上時,設Q3Q=s,AP=t,求s關于t的函數(shù)表達式.
②當PQ與△OEF的一邊平行時,求所有滿足條件的AP的長.
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【題目】閱讀下列材料:若關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個非零實數(shù)根分別為x1,x2,則x1+x2=﹣,x1x2=.
解決下列問題:已知關于x的一元二次方程(x+n)2=6x有兩個非零不等實數(shù)根x1,x2,設m=,
(Ⅰ)當n=1時,求m的值;
(Ⅱ)是否存在這樣的n值,使m的值等于?若存在,求出所有滿足條件的n的值;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,以等邊的邊為直徑作,分別交,于點,,過點作交于點.
(1)求證:是的切線;
(2)若等邊的邊長為8,求由、、圍成的陰影部分面積.
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