Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是邊AD上的一點，將△CDE沿CE折疊得到△CFE，點F恰好落在邊AB上．

（1）證明：△AEF∽△BFC．

（2）若AB=，BC=1，作線段CE的中垂線，交AB于點P，交CD于點Q，連結(jié)PE，PC．

①求線段DQ的長．

②試判斷△PCE的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）2-；（3）等腰直角三角形．

【解析】

（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)知，從而得出，轉(zhuǎn)化得到相似；

（2）連接EQ，根據(jù)AB=，BC=1計算出BF的長度，從而判斷都是等腰直角三角形，算出AF、DE的長度，再根據(jù)PQ是CE的垂直平分線得出EQ=CQ，設，則，解直角三角形算出x即可；

（3）設，則，根據(jù)利用勾股定理建立等量關系解出再證明全等即可．

解：（1）∵將△CDE沿CE折疊得到△CFE

∴

∴

又∵

∴

∴△AEF∽△BFC

（2）①連接EQ，PQ是CE的中垂線，如圖：

∵AB=，BC=1，將△CDE沿CE折疊得到△CFE，四邊形ABCD是矩形

∴

∴都是等腰直角三角形

∴

設，則，在直角三角形DEQ中：

，解得：

故DQ的長為；

②設，則，PQ是CE的中垂線

∴

∴即

解得：

∴

又∵

∴△APE≌△BCP

∴即

∴△PCE是等腰直角三角形．