Question

【題目】如圖1，AB＝AC＝2，AD、BE為△ABC的兩條高，F為AD上一點，且BD＝DF，連接BF．

（1）求證：BF平分∠ABE；

（2）如圖2，延長BE至G點，使BG＝AB，連結GC，取AB的中點H，連結FH、DH．

求證：①△DFH∽△BCG；②若BF＝CG，BF∥CG，連結GF，如圖3，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②．

【解析】

（1）首先證明∠CBE=∠CAD=∠BAD，再證明∠ABF+∠BAD=∠EBF+∠CBE=45°即可解決問題．
（2）①根據兩邊對應成比例夾角相等的兩個三角形相似即可證明．
②如圖3中，連接CF交BG于O．證明四邊形BFGC是平行四邊形，△BFC是等腰直角三角形即可解決問題．

(1)如圖1中，

∵AD、BE為△ABC的兩條高，

∴∠ADC=∠BEC=∠ADB=90°，

∴∠C+∠CAD=90°，∠C+∠CBE=90°，

∴∠CAD=∠CBE，

∵AC=AB，AD⊥BC，

∴∠CAD=∠BAD，

∴∠BAD=∠CBE，

∵DB=DE，∠BDF=90°，

∴∠DFB=∠DBF=45°，

∵∠DFB=∠FAB+∠FBA，∠DBF=∠CBE+∠EBF，

∴∠FAB+∠FBA=∠CBE+∠EBF，

∴∠ABF=∠EBF，

∴BF平分∠ABE;

(2)①如圖2中，

∵∠ADB=90°，AH=HB，

∴DH=AH=BH，

∴∠HAD=∠HDA，

∵∠BAD=∠CBE，

∴∠ADH=∠CBG，

∵，=，，

∴，

∴．

②如圖3中，連接CF交BG于O．

∵BF=CG，BF∥CG，

∴四邊形BFGC是平行四邊形，

∴OF=OC，OB=OG=1，

∵FD垂直平分線段BC，

∴FC=FB，

∵∠FBD=45°，

∴△BFC是等腰直角三角形，

∴BF=2OF，

∵OB=1，

，即

解得：，則，

∴，

∴，

在中，

．