已知若過定點.以()為法向量的直線與過點以為法向量的直線相交于動點． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知，若過定點、以（λ∈R）為法向量的直線l1與過點以為法向量的直線l2相交于動點P．
（1）求直線l1和l2的方程；
（2）求直線l1和l2的斜率之積k1k2的值，并證明必存在兩個定點E，F(xiàn)，使得恒為定值；
（3）在（2）的條件下，若M，N是上的兩個動點，且，試問當|MN|取最小值時，向量與是否平行，并說明理由．

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（2009•浦東新區(qū)二模）已知
i
=(1，0)，
c
=(0，
2
)，若過定點A(0，
2
)、以
i
-λ
c
（λ∈R）為法向量的直線l1與過點B(0，-
2
)以
c
+λ
i
為法向量的直線l2相交于動點P．
（1）求直線l1和l2的方程；
（2）求直線l1和l2的斜率之積k1k2的值，并證明必存在兩個定點E，F(xiàn)，使得|
PE
|+|
PF
|恒為定值；
（3）在（2）的條件下，若M，N是l：x=2
2
上的兩個動點，且
EM
•
FN
=0，試問當|MN|取最小值時，向量
EM
+
FN
與
EF
是否平行，并說明理由．

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已知直三棱柱中, , ， 是和的交點, 若.

（1）求的長；  （2）求點到平面的距離；

（3）求二面角的平面角的正弦值的大小.

【解析】本試題主要考查了距離和角的求解運用。第一問中，利用ACCA為正方形, AC=3

第二問中，利用面BBCC內(nèi)作CDBC, 則CD就是點C平面ABC的距離CD=，第三問中，利用三垂線定理作二面角的平面角，然后利用直角三角形求解得到其正弦值為

解法一: (1)連AC交AC于E, 易證ACCA為正方形, AC=3 ……………  5分

(2)在面BBCC內(nèi)作CDBC, 則CD就是點C平面ABC的距離CD= … 8分

(3) 易得AC面ACB, 過E作EHAB于H, 連HC, 則HCAB

CHE為二面角C－AB－C的平面角. ………  9分

sinCHE=二面角C－AB－C的平面角的正弦大小為 ……… 12分

解法二: (1)分別以直線CB、CC、CA為x、y為軸建立空間直角坐標系, 設(shè)|CA|=h, 則C(0, 0, 0), B(4, 0, 0), B(4, －3, 0), C(0, －3, 0), A(0, 0, h), A(0, －3, h), G(2, －, －) ………………………  3分

=(2, －, －), =(0, －3, －h(huán))  ……… 4分

·=0,  h=3

(2)設(shè)平面ABC得法向量=(a, b, c),則可求得=(3, 4, 0) (令a=3)

點A到平面ABC的距離為H=||=……… 8分

(3) 設(shè)平面ABC的法向量為=(x, y, z),則可求得=(0, 1, 1) (令z=1)

二面角C－AB－C的大小滿足cos== ………  11分

二面角C－AB－C的平面角的正弦大小為

 

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一、填空題

1.           2.         3.156         4. -          5.

6．     7．        8．（理）   （文）       9．0

10．     11．（理）     （文）

 

二、選擇題

12.C           13.B          14.(理)C   （文）B           15.B

 

三、解答題

16. 【解】（1）由已知：，   （2分）

即，      （4分）

∴，故。              （6分）

（2）由，得，     （8分）

∴，。                   （10分）

故。              （12分）

17.【解】

（理）設(shè)三次事件依次為，命中率分別為，

（1）令，則，∴，，。      （6分）

 （2）。      （13分）

（文）拋物線的準線是，          （3分）

雙曲線的兩條漸近線是。 （6分）

    三條線為成得三角形區(qū)域的頂點為，，，（10分）

當時，。              （13分）

18.【解】（1），。（4分）

   （2）令，，

，（8分）

即三位市民各獲得140、100和110元折扣。（10分）

   （3）（元）。（16分）

19.【解】（1）直線的法向量，的方程：，

即為；…（2分）

直線的法向量，的方程：，

即為。 （4分）

（2）。   （6分）

設(shè)點的坐標為，由，得。（8分）

由橢圓的定義的知存在兩個定點，使得恒為定值4。

此時兩個定點為橢圓的兩個焦點。（10分）

（3）設(shè)，，則，，

由，得。（12分）

；

當且僅當或時，取最小值。（14分）

，故與平行。（16分）

20.【解】（1）由，得。由，得第二行的公差，，∴。（2分）

由，，得，∴。（4分）

（2）；（6分）

。（10分）

（3），， 兩式相減，得，。（12分）當時，。（13分）

①時，顯然能被21整除；（14分）

②假設(shè)時，能被21整除，當時，

能被21整除。結(jié)論也成立。（17分）

由①、②可知，當是3的倍數(shù)時，能被21整除。（18分）


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