如圖，已知P、O分別是正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁上、下底面的中心，E是AB的中點，AB=kAA₁，其中k為非零實數(shù)，
（1）求證：A₁E∥平面PBC；
（2）當(dāng)時，求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；
（3）當(dāng)k取何值時，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心？

如圖，已知三棱柱ABC－A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面垂直，AA₁＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分別是CC₁，BC的中點，點P在線段A₁B₁上，且

（1）證明：無論取何值，總有AM⊥PN；

（2）當(dāng)時，求直線PN與平面ABC所成角的正切值.

 

已知橢圓的短軸長為，焦點坐標(biāo)分別是（-1,0）和（1,0）

(1)求這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）如果直線與這個橢圓交于不同的兩點，求的取值范圍．

（3）若（2）中，求該直線與此橢圓相交所得弦長．

如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，AB=2，BD=1，AF=2，CE=3，O為AB的中點．
（Ⅰ）求平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值；
（Ⅱ）在DE上是否存在一點P，使CP⊥平面DEF？如果存在，求出DP的長；若不存在，說明理由．