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平面直角坐標系中，為坐標原點，給定兩點A（1，0）、B（0，－2），點C滿足其中、且．
（Ⅰ）求點C的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)點C的軌跡與雙曲線交于兩點M、N，且以MN為直徑的圓過原點，求證：為定值．

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一選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

D

A

D

D

B

D

B

A

C

D

C

提示：10．解：數(shù)列、都是公差為1的等差數(shù)列，其首項分別為、，且，．設(shè)（），則 ，所以是等差數(shù)列，所以的前項和

11．由題，消去可得：，又由題有：，由以上條件可得：點的軌跡為如圖所示的線段，而表示點到坐標原點的距離的平方，所以

12．設(shè)點到左準線的距離為，則由雙曲線的第二定義有：，由題有，所以，又由第一定義（在右支上），所以，，又由點在右支上，則，，解得：，而，所以

二．填空題

13．       14．          15．         16．  1

提示：15．，， 在單調(diào)遞減，

16．如圖，設(shè)三棱錐得體積為,，當且僅當時三棱錐體積最大，過點作,連接，由題可知平面,由三垂線定理可知為側(cè)面與底面成的角，所以，而用等面積法可知：，，所以，代入，得

三．解答題

17．解：（1）取OB中點E，連接ME，NE

…………………………………………2分

又…………………………………4分

…………………………………………………………5分

（2）連接為異面直線與所成的角（或其補角）…7分

由于，所以,,為等腰三角形，……………………………………………………9分

  （3）解法一：連接，設(shè)點B到平面OCD的距離為，

由,,,為等腰三角形，

的高為，………11分

又，又 

點B到平面OCD的距離為…………………………………………13分

解法二：點A和點B到平面OCD的距離相等，取的中點P連

接OP,過點作 于點Q，，又

又 ,

線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離, ………………………………12分

由題可知：,,在中.……13分

18．解：在中，

………………………………3分

   ……5分    ……………7分

(2)由余弦定理得，又由已知和（1）可知：

…………………………10分

………………………………13分

19．解：（Ⅰ）平面平面，…………2分

在中，，為中點．……………4分

平面，平面平面．……………6分

（Ⅱ）如圖，作交于點，連接，

由已知得平面．是在面內(nèi)的射影．

由三垂線定理知，為二面角的平面角．……………9分

過作交于點，則，，

．在中，．…………11分

在中，．，

即二面角為．………………………………13分

20．解答：（1）_{，，又因為} 按向量平移后得函數(shù)_……..2分

由g(x)圖像關(guān)于原點對稱得g(-x)=-g(x),即,

,…………………………………………………...4分

由

當（舍）所以…….6分

（2）證明：因為

所以……………………………………8分

故                 ……………………………………9分

又   ……………………12分

所以     .……………………………………13分

21．解：（I）由已知可得

       ……2分    所以…3分  橢圓方程為……5分

   （II），且定值為    由（I），A₂（2，0），B（0，1），且//A₂B

       所以直線的斜率………………………………6分

       設(shè)直線的方程為

             解得：

即

   ………………………………………………8分

       ……………………9分

       又因為

          又

       是定值�！�………12分

22．（1）（為正整數(shù)），

所以數(shù)列的反數(shù)列為的通項（為正整數(shù)）.   …………3分

（2）對于（1）中，不等式化為.

設(shè)，

，

∴數(shù)列單調(diào)遞增, 所以, ，要使不等式恒成立，只要.

∵，∴，又,

所以，使不等式對于任意正整數(shù)恒成立的的取值范圍是.…………7分（3）設(shè)公共項為正整數(shù).                    

①當為奇數(shù)時，.   ，

則（表示是的子數(shù)列），.所以的前項和.

② 當為偶數(shù)時，.，則，同樣有，.所以的前項和.                        …………12分