函數(shù)概念的發(fā)展歷程

　　17世紀，科學家們致力于運動的研究，如計算天體的位置，遠距離航海中對經(jīng)度和緯度的測量，炮彈的速度對于高度和射程的影響等．諸如此類的問題都需要探究兩個變量之間的關系，并根據(jù)這種關系對事物的變化規(guī)律作出判斷，如根據(jù)炮彈的速度推測它能達到的高度和射程．這正是函數(shù)產(chǎn)生和發(fā)展的背景．

　　“function”一詞最初由德國數(shù)學家萊布尼茲(G．W．Leibniz，1646～1716)在1692年使用．在中國，清代數(shù)學家李善蘭(1811～1882)在1859年和英國傳教士偉烈亞力合譯的《代徽積拾級》中首次將“function”譯做“函數(shù)”．

　　萊布尼茲用“函數(shù)”表示隨曲線的變化而改變的幾何量，如坐標、切線等．1718年，他的學生，瑞士數(shù)學家約翰·伯努利(J．Bernoulli，1667～1748)強調(diào)函數(shù)要用公式表示．后來，數(shù)學家認為這不是判斷函數(shù)的標準．只要一些變量變化，另一些變量隨之變化就可以了．所以，1755年，瑞士數(shù)學家歐拉(L．Euler，1707～1783)將函數(shù)定義為“如果某些變量，以一種方式依賴于另一些變量，我們將前面的變量稱為后面變量的函數(shù)”．

　　當時很多數(shù)學家對于不用公式表示函數(shù)很不習慣，甚至抱懷疑態(tài)度．函數(shù)的概念仍然是比較模糊的．

　　隨著對微積分研究的深入，18世紀末19世紀初，人們對函數(shù)的認識向前推進了．德國數(shù)學家狄利克雷(P．G．L．Dirichlet，1805～1859)在1837年時提出：“如果對于x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應，則y是x的函數(shù)”．這個定義較清楚地說明了函數(shù)的內(nèi)涵．只要有一個法則，使得取值范圍中的每一個值，有一個確定的y和它對應就行了，不管這個法則是公式、圖象、表格還是其他形式．19世紀70年代以后，隨著集合概念的出現(xiàn)，函數(shù)概念又進而用更加嚴謹?shù)募�合和對應語言表述，這就是本節(jié)學習的函數(shù)概念．

　　綜上所述可知，函數(shù)概念的發(fā)展與生產(chǎn)、生活以及科學技術的實際需要緊密相關，而且隨著研究的深入，函數(shù)概念不斷得到嚴謹化、精確化的表達，這與我們學習函數(shù)的過程是一樣的．

你能以函數(shù)概念的發(fā)展為背景，談談從初中到高中學習函數(shù)概念的體會嗎？

1．探尋科學家發(fā)現(xiàn)問題的過程，對指導我們的學習有什么現(xiàn)實意義？

2．萊布尼茲、狄利克雷等科學家有哪些品質(zhì)值得我們學習？

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對于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定義：設f′′（x）是函數(shù)y=f（x）的導函數(shù)y=f′（x）的導數(shù)，若f′′（x）=0有實數(shù)解x，則稱點（x，f（x））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”．現(xiàn)已知f（x）=x³-3x²+2x-2，請解答下列問題：
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的“拐點”A的坐標；
（Ⅱ）求證f（x）的圖象關于“拐點”A 對稱；并寫出對于任意的三次函數(shù)都成立的有關“拐點”的一個結(jié)論（此結(jié)論不要求證明）；
（Ⅲ）若另一個三次函數(shù)G（x）的“拐點”為B（0，1），且一次項系數(shù)為0，當x₁＞0，x₂＞0（x₁≠x₂）時，試比較與的大小．

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對于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定義：設f′′（x）是函數(shù)y=f（x）的導函數(shù)y=f′（x）的導數(shù)，若f′′（x）=0有實數(shù)解x，則稱點（x，f（x））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”．現(xiàn)已知f（x）=x³-3x²+2x-2，請解答下列問題：
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的“拐點”A的坐標；
（Ⅱ）求證f（x）的圖象關于“拐點”A 對稱；并寫出對于任意的三次函數(shù)都成立的有關“拐點”的一個結(jié)論（此結(jié)論不要求證明）；
（Ⅲ）若另一個三次函數(shù)G（x）的“拐點”為B（0，1），且一次項系數(shù)為0，當x₁＞0，x₂＞0（x₁≠x₂）時，試比較與的大小．

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1.B   提示：在同一坐標系中畫出兩函數(shù)y = a ^|x|與y = |log _a x|圖象，如圖

2.D提示： 如圖|OM| = 2，|AM| = ，|OA| = 1，∴k = tan∠AOM = 。

3.B提示： A=[0,4],B=[－4，0]，

4.D

5.B    提示：如圖

6.C  提示：而|z|表示

7.A  提示：T=2×8=16，則，令。

8.A  提示：在同一坐標系中作出函數(shù)的圖象，易得。

9.A  提示：在同一坐標系中畫出函數(shù)y=4x＋1，y=x＋2和y=－2x＋4的圖象，由圖可知，f（x）的最高點為。

10.D  提示：由可行域易知z=5x+y過點（1，0）時取得最大值5.

11.B 提示： f（x）= f（－x）= f（2－x），故f（x）的草圖如圖：

由圖可知，B正確。

12.C提示：設橢圓另一焦點為F₂，（如圖），，又注意到N、O各為MF₁、F₁F₂的中點， ∴ON是△MF₁F₂的中位線， 

13.f (1) < f (4) < f (- 3)提示：由f (2 + t) = f (2 ? t)知，f(x)的圖象關于直線x=2對稱，又f (x) = x ² + bx + c為二次函數(shù)，其圖象是開口向上的拋物線，由f(x)的圖象，易知f (1) < f (4) < f (- 3).

14.1 < m < 5提示：設y ₁ = x ² ? 4|x| + 5，y ₂ = m，畫出兩函數(shù)圖象示意圖，要使方程x ² ? 4|x| + 5 = m有四個不相等實根，只需使1 < m < 5.

15.

提示：y=x－m表示傾角為45°，縱截距為－m的直線方程，而則表示以（0，0）為圓心，以1為半徑的圓在x軸上方的部分（包括圓與x軸的交點），如下圖所示，顯然，欲使直線與半圓有兩個不同交點，只需直線的縱截距，即.

16、

，

九、實戰(zhàn)演習

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1. 方程的實根的個數(shù)為（    ）

    A. 1個      B. 2個      C. 3個      D. 4個

    2. 函數(shù)的圖象恰有兩個公共點，則實數(shù)a的取值范圍是（    ）

    A.                    B.

    C.            D.

   3. 若不等式的解集為則a的值為（     ）

    A. 1            B. 2            C. 3            D. 4

   4. 若時，不等式恒成立，則a的取值范圍為（    ）

A. （0，1）     B. （1，2）     C. （1，2]      D. [1，2]

   5  已知f(x)=(x?a)(x?b)?2（其中a＜b，且α、β是方程f(x)=0的兩根（α＜β，則實數(shù)a、b、α、β的大小關系為(    )

A  α＜a＜b＜β            B  α＜a＜β＜b

C  a＜α＜b＜β            D  a＜α＜β＜b

6.已知x＋y＋1=0,則的最小值是(    )

A.   B.     C.   D..

7.如圖,是周期為的三角函數(shù)y=f(x)的圖像,那么f(x)可以寫成(    )

A.sin(1＋x)     B.sin(－1－x)     C.sin(x－1)     D.sin(1－x)

8.方程x＋log₃x=2,x＋log₂x=2的根分別是α、β,那么α與β的大小關系是(    )

A.α>β     B.α<β    C.α=β    D.不確定.

9.

10. 在約束條件下，當時，目標函數(shù)的最大值的變化范圍是(    )

A.         B.    C.         D.

11. 若不等式在(0,)內(nèi)恒成立,則a的取值范圍(   )

A.[ ,1)     B.( ,1)       C.(0, )     D.(0, ]

12.已知,關于x的方程有兩個不同的實數(shù)解,則實數(shù)a的取值范圍是(    )

A.[－2,2]     B.[,2]     C.( ,2]      D.( ,2)

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，請把答案直接填在題中橫線上.

13.曲線y=1+ (?2≤x≤2)與直線y=r(x?2)+4有兩個交點時，實數(shù)r的取值范圍___________.

14 . 若關于x的方程有四個不相等的實根，則實數(shù)m的取值范圍為___________。

15.  函數(shù)的最小值為___________。  

16. 對于每個實數(shù)x,設f(x)是4x＋1,x＋2和－2x＋4三者中的最小者,則f(x)的最大值為_________.

三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

    17. （12分）若不等式的解集為A，且，求a的取值范圍。

    18.（12分）設，試求方程有解時k的取值范圍。

19 （12分）已知圓C:（x＋2）²＋y²=1,點P（x,y）為圓C上任一點.

⑴求的最值.       ⑵求x－2y的最值.

20. （12分）設A={(x,y)｜y=,a＞0}，B={(x,y)｜(x?1)²+(y?)²=a²,a＞0},且A∩B≠，求a的最大值與最小值 

21. （12分）設f(x)=,a,b∈R,且a≠b.求證:|f(a)－f(b)|<|a－b|.

22  （12分）已知A（1，1）為橢圓=1內(nèi)一點，F₁為橢圓左焦點，P為橢圓上一動點       求｜PF₁｜+｜PA｜的最大值和最小值 

參考答案:

一、選擇題

    1. C   解析：畫出在同一坐標系中的圖象，即可。

  2. D   解析：畫出的圖象

    情形1：              情形2：

3. B  解析：畫出的圖象，依題意，從而。

  4. C  解析：令，畫出兩函數(shù)圖象.

        a>1                              

若a>1，當時，要使，只需使,∴；

若，顯然當時，不等式恒不成立。

5  A  解析  a,b是方程g(x)=(x?a)(x?b)=0的兩根，在同一坐標系中作出函數(shù)f(x)、g(x)的圖象如圖所示 

6. B 解析:方程x＋y＋1=0表示直線,而式子表示點(1,1)到直線上點的距離,因此式子的最小值就是點(1,1)到直線x＋y＋1=0的距離,由點到直線的距離公式可求.

7. D  解析:由周期為得,ω=1,令1×1＋φ=得, φ=－1.所以y=sin(x＋－1)=－sin(x－1)=sin(1－x).

8. A 解析:由題意有, log₃x=2－x, log₂x=2－x,在同一坐標系中作出y=log₃x,y=log₂x,y=2－x的圖像,

易見α>β.

9. D  解析:k=tan60°=.

        (9題圖)                             (10題圖)

10. 解析:畫出可行域如圖

∵,∴在圖中A點和B點處,目標函數(shù)z分別取得最大值的最小和最大.

∴z_max∈[7,8].故選D.

11. 解析:不等式變形為,令y₁=x²,y₂=log_ax,如圖

函數(shù)y₂過點A()時,a=,為滿足條件的a邊界,故a的范圍是≤a＜1.

       (11題圖)                       (12題圖)

12.D. 解析:在坐標系中畫出y=的圖象.

二、填空題

13. （］  解析  方程y=1+的曲線為半圓，y=r(x?2)+4為過（2，4）的直線.     14.   解析:設，

畫出兩函數(shù)圖象示意圖，要使方程有四個不相等實根，只需使.

 15. 解析：對，它表示點（x，1）到（1，0）的距離;表示點（x，1）到點（3，3）的距離，于是表示動點（x，1）到兩個定點（1，0）、（3，3）的距離之和，結(jié)合圖形，易得。

16. 解析:在同一坐標系中畫出三個函數(shù)的圖像,如圖, 由圖知, f(x)的最高點為A(),

所以, f(x)的最大值為.

三、解答題

  17. 解：令表示以（2，0）為圓心，以2為半徑的圓在x軸的上方的部分（包括圓與x軸的交點），如下圖所示，表示過原點的直線系，不等式的解,即是兩函數(shù)圖象中半圓在直線上方的部分所對應的x值。

由于不等式解集, 因此，只需要

    ∴a的取值范圍為（2，+）。

      (17題圖)                              (18題圖)

18. 解：將原方程化為：，

    ∴

    令，它表示傾角為45°的直線系，；

    令，它表示焦點在x軸上，頂點為（－a，0）（a，0）的等軸雙曲線在x軸上方的部分，

原方程有解，則兩個函數(shù)的圖象有交點，由圖知,

∴.   ∴k的取值范圍為

19 解：

   （1）                                   (2)

（1）設Q（1，2）,則的最值分別為過Q點的圓C的兩條切線的斜率.如圖

設PQ:y－2=k(x－1),即kx－y＋2－k=0

∴,∴k=或k=.

∴的最大值為,最小值為.

(2)令x－2y=b,即x－2y―b=0,為一組平行直線系,則x－2y=b的最值就是直線與圓相切時.如圖

由得,b=－2＋,或b=－2－.

∴x－2y的最大值為－2＋,最小值為－2－.

20.解  ∵集合A中的元素構(gòu)成的圖形是以原點O為圓心，a為半徑的半圓；集合B中的元素是以點O′(1,)為圓心，a為半徑的圓  如圖所示 

∵A∩B≠，∴半圓O和圓O′有公共點 

∴當半圓O和圓O′外切時，a最小.∴a+a=｜OO′｜=2,∴a_min=2?2

當半圓O與圓O′內(nèi)切時， a最大 ∴a?a=｜OO′｜=2,∴a_max=2+2 

21.解:由y=得,y²－x²=1(y>x),表示的曲線為雙曲線的上支,且此雙曲線的漸近線為y=±x.

在曲線上任取兩點A(a,f(a)),A(b,f(b)),其斜率為k,由雙曲線性質(zhì)得|k|<1.

∴,∴|f(a)－f(b)|<|a－b|.

      (21題圖)                             (22題圖)

22  解  由可知a=3,b=,c=2，左焦點F₁(?2,0),右焦點F₂(2,0) 

如圖  由橢圓定義，｜PF₁｜=2a?｜PF₂｜=6?｜PF₂｜,

∴｜PF₁｜+｜PA｜=6?｜PF₂｜+｜PA｜=6+｜PA｜?｜PF₂｜

由｜｜PA｜?｜PF₂｜｜≤｜AF₂｜=知

?≤｜PA｜?｜PF₂｜≤  (當P在AF₂延長線上的P₂處時，取右“=”號；

當P在AF₂的反向延長線的P₁處時，取左“=”號 )

即｜PA｜?｜PF₂｜的最大、最小值分別為，? 

于是｜PF₁｜+｜PA｜的最大值是6+,最小值是6?