聯立方程.解得雙曲線的兩頂點坐標為..所以雙曲線的實軸長為 -- 5分 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

在平面直角坐標系中,曲線與坐標軸的交點都在圓上.

(1)求圓的方程;

 (2)若圓與直線交于、兩點,且,求的值.

【解析】本試題主要是考查了直線與圓的位置關系的運用。

(1)曲線軸的交點為(0,1),

軸的交點為(3+2,0),(3-2,0) 故可設的圓心為(3,t),則有32+(t-1)2=(2)2+t2,解得t=1.

(2)因為圓與直線交于、兩點,且。聯立方程組得到結論。

 

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已知向量),向量,,

.

(Ⅰ)求向量; (Ⅱ)若,,求.

【解析】本試題主要考查了向量的數量積的運算,以及兩角和差的三角函數關系式的運用。

(1)問中∵,∴,…………………1分

,得到三角關系是,結合,解得。

(2)由,解得,,結合二倍角公式,和,代入到兩角和的三角函數關系式中就可以求解得到。

解析一:(Ⅰ)∵,∴,…………1分

,∴,即   ①  …………2分

 ②   由①②聯立方程解得,5分

     ……………6分

(Ⅱ)∵,,  …………7分

               ………8分

又∵,          ………9分

,            ……10分

解法二: (Ⅰ),…………………………………1分

,∴,即,①……2分

    ②

將①代入②中,可得   ③    …………………4分

將③代入①中,得……………………………………5分

   …………………………………6分

(Ⅱ) 方法一 ∵,,∴,且……7分

,從而.      …………………8分

由(Ⅰ)知, ;     ………………9分

.     ………………………………10分

又∵,∴, 又,∴    ……11分

綜上可得  ………………………………12分

方法二∵,,∴,且…………7分

.                                 ……………8分

由(Ⅰ)知 .                …………9分

             ……………10分

,且注意到

,又,∴   ………………………11分

綜上可得                    …………………12分

(若用,又∵ ∴ ,

 

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設雙曲線的兩個焦點分別為、,離心率為2.

(1)求雙曲線的漸近線方程;

(2)過點能否作出直線,使與雙曲線交于、兩點,且,若存在,求出直線方程,若不存在,說明理由.

【解析】(1)根據離心率先求出a2的值,然后令雙曲線等于右側的1為0,解此方程可得雙曲線的漸近線方程.

(2)設直線l的方程為,然后直線方程與雙曲線方程聯立,消去y,得到關于x的一元二次方程,利用韋達定理表示此條件,得到關于k的方程,解出k的值,然后驗證判別式是否大于零即可.

 

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在△ABC中,內角A、B、C所對邊的邊長分別是a、b、c,已知c=2,C=.

(Ⅰ)若△ABC的面積等于,求a、b;

(Ⅱ)若,求△ABC的面積.

【解析】第一問中利用余弦定理及已知條件得又因為△ABC的面積等于,所以,得聯立方程,解方程組得.

第二問中。由于即為即.

時, , ,   所以時,得,由正弦定理得,聯立方程組,解得,得到

解:(Ⅰ) (Ⅰ)由余弦定理及已知條件得,………1分

又因為△ABC的面積等于,所以,得,………1分

聯立方程,解方程組得.                 ……………2分

(Ⅱ)由題意得,

.             …………2分

時, , ,           ……1分

所以        ………………1分

時,得,由正弦定理得,聯立方程組

,解得,;   所以

 

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,為常數,離心率為的雙曲線上的動點到兩焦點的距離之和的最小值為,拋物線的焦點與雙曲線的一頂點重合。(Ⅰ)求拋物線的方程;(Ⅱ)過直線為負常數)上任意一點向拋物線引兩條切線,切點分別為、,坐標原點恒在以為直徑的圓內,求實數的取值范圍。

【解析】第一問中利用由已知易得雙曲線焦距為,離心率為,則長軸長為2,故雙曲線的上頂點為,所以拋物線的方程

第二問中,,,

故直線的方程為,即,

所以,同理可得:

借助于根與系數的關系得到即,是方程的兩個不同的根,所以

由已知易得,即

解:(Ⅰ)由已知易得雙曲線焦距為,離心率為,則長軸長為2,故雙曲線的上頂點為,所以拋物線的方程

(Ⅱ)設,

故直線的方程為,即,

所以,同理可得:,

,是方程的兩個不同的根,所以

由已知易得,即

 

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