2.如圖，正三角形ABC與直角三角形BCD成直二面角，且∠BCD=90°，∠CBD=30°.

(1)求證：AB⊥CD；

(2)求二面角D-AB-C的大小；

答案與提示：(2)arctan

3　 空間角

例1、如圖1，設(shè)ABC-ABC是直三棱柱，F是AB的中點(diǎn)，且

(1)求證：AF⊥AC；　 (2)求二面角C-AF-B的大�。�

解：(1)如圖2，設(shè)E是AB的中點(diǎn)，連接CE，EA．由ABC-ABC是直三棱柱，知AA⊥平面ABC，而CE平面ABC，所以CE⊥AA，

∵AB=2AA=2a，∴AA=a，AA⊥AE，知AAFE是正方形，從而AF⊥AE．而AE是AC在平面AAFE上的射影，故AF⊥AC；

(2)設(shè)G是AB與A1E的中點(diǎn)，連接CG．因?yàn)?i>CE⊥平面AABB，AF⊥AE，由三垂線定理，CG⊥AF，所以∠CGE就是二面角C-AF-B的平面角．∵AAFE是正方形，AA=a，

∴，　 ∴，

∴tan∠CGE=，∠CGE＝，從而二面角C-AF-B的大小為。

例2、 一條長(zhǎng)為2的線段夾在互相垂直的兩個(gè)平面a、b之間，AB與a成45o角，與b成角，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作兩平面交線的垂線AC、BD，求平面ABD與平面ABC所成的二面角的大小．

　　　　　　 以CD為軸，將平　　　　　　　　 以AB為軸，將平　

　　　　　　 面BCD旋轉(zhuǎn)至與　　　　　　　　　 面ABD旋轉(zhuǎn)至與

　　　　　　 平面ACD共面　　　　　　　　　　 平面ABC共面

圖 1　　　　　　　　 　　　　圖 2　　　　　　　　　　 圖 3　　　　　

解法1、過(guò)D點(diǎn)作DE⊥AB于E，過(guò)E作EF⊥AB交BC于F(圖1)，連結(jié)DF，則∠DEF即為二面角D－AB－C的平面角．

為計(jì)算△DEF各邊的長(zhǎng)，我們不妨畫(huà)出兩個(gè)有關(guān)的移出圖．在圖2中，可計(jì)算得DE＝1，EF＝，BF＝＝．在移出圖3中，

∵　 cosB＝＝,

在△BDF中，由余弦定理：

DF ²＝BD ²+BF ²－2BD ﹒ BF ﹒ cosB

　 ＝()²+()² －2﹒﹒ ＝．

(注：其實(shí)，由于AB⊥DE，AB⊥EF，∴　 AB⊥平面DEF，∴　 AB⊥DF．

又∵　 AC⊥平面b，　∴　AC⊥DF．　 ∴　DF⊥平面ABC，　 ∴　 DF⊥BC，即DF是Rt△BDC斜邊BC上的高，于是由BC ﹒ DF＝CD ﹒BD可直接求得DF的長(zhǎng)．)

在△DEF中，由余弦定理：

cos∠DEF＝＝＝.

∴　 ∠DEF＝arccos.此即平面ABD與平面ABC所成的二面角的大�。�

解法2、過(guò)D點(diǎn)作DE⊥AB于E，過(guò)C作CH⊥AB于H，則HE是二異面直線CH和DE的公垂線段，CD即二異面直線上兩點(diǎn)C、D間的距離．運(yùn)用異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式，得：

　CD ²＝DE ²+CH ²+EH ²－2DE　 CH　 cosq　　　　　　　 (*)

(注：這里的q是平面ABD與平面ABC所成的二面角的大小，當(dāng)0＜q ^o≤90^o，q 亦即異面直線CH與DE所成的角；當(dāng)90^o＜q ＜180^o，異面直線所成的角為180^o－q .)

∵　 CD＝DE＝1，CH＝，HE＝，

從而算得　 cosq＝，　 ∴　 q＝arccos.

例3、如圖1，直三棱柱ABC－ABC的各條棱長(zhǎng)都相等，

D為棱BC上的一點(diǎn)，在截面ADC中，若∠ADC＝，

求二面角D－AC­₁－C的大�。�

解：由已知，直三棱柱的側(cè)面均為正方形，　　　　　　　　　　 圖 7

∵ ∠ADC₁＝90^o，即AD⊥C₁D．又CC₁⊥平面ABC，

∴ AD⊥CC₁.　∴ AD⊥側(cè)面BC₁，∴ AD⊥BC，　　　　　　　　　　 圖1

∴ D為BC的中點(diǎn)．　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　

過(guò)C作CE⊥C₁D于E，∵　 平面ADC₁⊥側(cè)面BC₁，

∴ CE⊥平面ADC₁．取AC₁的中點(diǎn)F，連結(jié)CF，則CF⊥AC₁．

連結(jié)EF，則EF⊥AC₁(三垂線定理)

∴ ∠EFC是二面角D－AC₁－C的平面角．

在Rt△EFC中，sin∠EFC＝.　 ∵ BC＝CC₁＝a

易求得　 CE＝，CF＝.

∴ sin∠EFC＝， ∴　 ∠EFC＝arcsin.

∴ 二面角D－AC₁－C的大小為arcsin.

例4、(2004年北京春季高考題)如圖，

四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，　　　　　　　　　　　　 圖(1)

SD垂直于底面ABCD，SB=√3。

　　 (I)求證；　　

(II)求面ASD與面BSC所成二面角的大��；

(III)設(shè)棱SA的中點(diǎn)為M，求異面直線DM與SB所成角的大小。

(Ⅳ)求SD與面SAB所成角的大小。

分析：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系等基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力。

　　 (I)證明：如圖1

　　　 ∵底面ABCD是正方形　　

SD⊥底面ABCD　　 DC是SC在平面ABCD上的射影

　由三垂線定理得

(II)解：SD⊥底面ABCD，且ABCD為正方形

　　 可以把四棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，如圖2

　　 面ASD與面BSC所成的二面角就是面與面所成的二面角，

又　　 為所求二面角的平面角

　　 在中，由勾股定理得　　 在中，由勾股定理得

　　 　　即面ASD與面BSC所成的二面角為

圖2　　　　　　　　　　　　　　　　　 圖3

　　 (III)解：如圖3　　

　　 是等腰直角三角形　　 又M是斜邊SA的中點(diǎn)

面ASD，SA是SB在面ASD上的射影

由三垂線定理得　　 異面直線DM與SB所成的角為

(Ⅳ) 45°

練習(xí)：1.設(shè)△ABC和△DBC所在的兩個(gè)平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠ABC=

∠DBC=120º.求：

(1).直線AD與平面BCD所成角的大小.

(2).異面直線AD與BC所成的角.

(3) .二面角A-BD-C的大小.

答案：(1)45°(2)90°(3)180°-arctan2

1.在四棱錐P-ABCD中，已知PD⊥底面ABCD，底面ABCD為等腰梯形,且∠DAB=60°，AB=2CD，∠DCP=45°，設(shè)CD=a．

(1)求四棱錐P-ABCD的體積．

(2)求證：AD⊥PB．

答案與提示：(1) a³

22.(本小題滿分14分)

定義在的三個(gè)函數(shù)f(x)、g(x)、h(x),已知f(x)=lnx , g(x)= ,且g(x)在[1，2]為增函數(shù)，h(x)在(0，1)為減函數(shù).

(I)求g(x)，h(x)的表達(dá)式；

(II)求證：當(dāng)x>1時(shí)，恒有;

(III)把h(x)對(duì)應(yīng)的曲線向上平移6個(gè)單位后得曲線，求與g(x)對(duì)應(yīng)曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明道理.

21.(本小題滿分12分)

已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，其右頂點(diǎn)關(guān)于直線x-y+4=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在直線

l: 上.

(I)求橢圓方程；

(II)過(guò)橢圓左焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，交直線l于點(diǎn)C，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求的面積.

20.(本小題滿分12分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是直線梯形，為直角，G是的重心，E為PB中點(diǎn)，F(xiàn)在線段BC上，且CF=2FB.

(I)證明：FG//平面PAB；

(II)證明：FGAC；

(III)求二面角P-CD-A的一個(gè)三角函數(shù)值，使得FG平面AEC

19.(本小題滿分12分)

已知，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)在曲線y=f(x)上，且.

(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(II)數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，且.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

12.95，13.95)中的概率；

(III)根據(jù)樣本，對(duì)總體的平均值進(jìn)行估計(jì).

13.7,12.7,14.7,13.8,13.3,12.5,13.5,13.6,13.1,12.6.

其分組情況如下：

(I)完成上面頻率分布表；

(II)根據(jù)上表，在給定的坐標(biāo)系中畫(huà)出頻率分布直方圖，并根據(jù)樣本估計(jì)總體數(shù)據(jù)落在

18.(本小題滿分12分)

有同一型號(hào)的汽車(chē)100輛，為了解該型號(hào)汽車(chē)每耗油1L所行路程的情況，現(xiàn)從中隨機(jī)抽出10輛在同一條件下進(jìn)行耗油1L所行路程實(shí)驗(yàn)，得到如下樣本數(shù)據(jù)(單位：km)

17.(本小題滿分12分)

設(shè)函數(shù)，其中a=(2cosx,1),b=(cosx, ),.

(I) 求f(x)的最大值；

(II)在中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且求b、c的值.