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上海市靜安區(qū)2008學(xué)年第二學(xué)期高三教學(xué)質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)理科 　　2009.4

（滿分150分，考試時間120分鐘）

考生注意：

本試卷包括試題紙和答題紙兩部分．在本試題紙上答題無效，必須在答題紙上的規(guī)定位置按照要求答題．可使用符合規(guī)定的計算器答題．

一、填空題（本大題滿分60分）本大題共有12題，每題5分，考生應(yīng)在答題紙上相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果．

1．直線的傾斜角為．

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2．已知全集，集合，，

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則= ．

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3．若復(fù)數(shù)滿足 (其中是虛數(shù)單位)，則= ．

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4．二項式展開式中系數(shù)的值是．

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5．市場上有一種“雙色球”福利彩票，每注售價為2元，中獎

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概率為6.71%，一注彩票的平均獎金額為14.9元．如果小王購

買了10注彩票，那么他的期望收益是元．

6．把化為積的形式，其結(jié)果為．

7．已知是橢圓上的一個動點，則

的最大值是．

8．已知（），則的值是．

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9．如圖是輸出某個數(shù)列前10項的框圖，則該數(shù)列第3項

的值是．

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10. 在極坐標(biāo)系中,過圓的圓心,且垂直于極軸的

直線的極坐標(biāo)方程是．

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11．如圖，用一平面去截球所得截面的面積為cm²，已知

球心到該截面的距離為1 cm，則該球的體積是　 cm³.

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12．在△中，，，是邊的中點，則的值

是 .

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二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題4分．每題只有一個正確答案，選擇正確答案的字母代號并按照要求填涂在答題紙的相應(yīng)位置．

13．線性方程組的增廣矩陣是………………………………………………（）．

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A． B． C． D．

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14．在直角坐標(biāo)系中，已知△的頂點和，頂點在橢圓

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上，則的值是…………………………………………………………………（）．

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A． B． C．2 D．4

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15. 以依次表示方程的根，則的大小順

序為…………………………………………………………………………………………（）．

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A． B． C． D．

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16．已知數(shù)列，對于任意的正整數(shù)，，設(shè)表示數(shù)列

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的前項和．下列關(guān)于的結(jié)論，正確的是……………………………………（）．

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A． B．

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C．（） D．以上結(jié)論都不對

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三、解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙上與題號對應(yīng)的區(qū)域?qū)懗霰匾牟襟E.

17．(本題滿分12分)

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動物園要建造一面靠墻的2間面積相同的長方形熊貓居室（如圖所

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示）．如果可供建造圍墻的材料長是30米，那么寬為多少米時才能使所建造的熊貓居室面積最大？熊貓居室的最大面積是多少平方米？

18. (本題滿分14分) 本題共有2個小題，第1小題滿分8分，第2小題滿分6分.

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在長方體中，，，．求：

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（1）頂點到平面的距離；

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（2）二面角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

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19．(本題滿分15分) 本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分4分，

第3小題滿分8分.

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設(shè)數(shù)列的前和為，已知，，，，

一般地，（）．

（1）求；

（2）求；

（3）求和：．

20．(本題滿分15分) 本題共有2個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分10分.

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已知為實數(shù)，函數(shù)，（）．

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（1）若，試求的取值范圍；

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（2）若，求函數(shù)的最小值．

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21．(本題滿分18分) 本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分7分，

第3小題滿分7分.

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已知是拋物線上的相異兩點．

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（1）設(shè)過點且斜率為-1的直線，與過點且斜率1的直線相交于點P(4，4)，求直線AB的斜率；

（2）問題（1）的條件中出現(xiàn)了這樣的幾個要素：已知圓錐曲線G，過該圓錐曲線上的

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相異兩點A、B所作的兩條直線相交于圓錐曲線G上一點；結(jié)論是關(guān)于直線AB的斜率的值．請你對問題（1）作適當(dāng)推廣，并給予解答；

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（3）線段AB（不平行于軸）的垂直平分線與軸相交于點．若，試用線段AB中點的縱坐標(biāo)表示線段AB的長度，并求出中點的縱坐標(biāo)的取值范圍．

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說明

1. 本解答列出試題的一種或幾種解法，如果考生的解法與所列解法不同,可參照解答中評分標(biāo)準(zhǔn)的精神進(jìn)行評分.

2. 評閱試卷，應(yīng)堅持每題評閱到底，不要因為考生的解答中出現(xiàn)錯誤而中斷對該題的評閱. 當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤，影響了后繼部分，但該步以后的解答未改變這一題的內(nèi)容和難度時，可視影響程度決定后面部分的給分，這時原則上不應(yīng)超過后面部分應(yīng)給分?jǐn)?shù)之半，如果有較嚴(yán)重的概念性錯誤，就不給分.

3. 第17題至第21題中右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的該題累加分?jǐn)?shù).

4. 給分或扣分均以1分為單位.

答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

1．； 2．； 3．； 4．； 5．（理）元；（文）0.7；

6．（理）；（文）200赫茲； 7．（理）5；（文）p=4．

8．（理）；（文）

9．； 10．（理）；（文）方程為．

11．（理）；（文）； 12．12．

13――16：A； C ； C；理B文A

17．設(shè)熊貓居室的總面積為平方米，由題意得：．… 6分

解法1：，因為，而當(dāng)時，取得最大值75． 10分

所以當(dāng)熊貓居室的寬為5米時，它的面積最大，最大值為75平方米． …… 12分

解法2：=75，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最大值75． …… 10分

所以當(dāng)熊貓居室的寬為5米時，它的面積最大，最大值為75平方米． …… 12分

18．理：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，可得有關(guān)點的坐標(biāo)為、、、、、． ……2分

設(shè)平面的法向量為，則，．

因為，， ……3分

，，

所以解得，取，得平面一個法向量，且． ……5分

（1）在平面取一點，可得，于是頂點到平面的距離，所以頂點到平面的距離為， ……8分

（2）因為平面的一個法向量為，設(shè)與的夾角為a，則

， ……12分

結(jié)合圖形可判斷得二面角是一個銳角，它的大小為．……14分

文：（1）圓錐底面積為 cm²， ……1分

設(shè)圓錐高為cm，由體積， ……5分

由cm³得cm； ……8分

（2）母線長cm， ……9分

設(shè)底面周長為，則該圓錐的側(cè)面積=， ……12分

所以該圓錐的側(cè)面積=cm²． ……14分

19．（理）（1）； ……3分

（2）當(dāng)時，（）

， ……6分

所以，（）． ……8分

（3）與（2）同理可求得：， ……10分

設(shè)=，

則，（用等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法），相減得

，所以

． ……14分

（文）（1）設(shè)數(shù)列前項和為，則． ……3分

（2）公比，所以由無窮等比數(shù)列各項的和公式得：

數(shù)列各項的和為=1． ……7分

（3）設(shè)數(shù)列的前項和為，當(dāng)為奇數(shù)時，=

； ……11分

當(dāng)為偶數(shù)時，=． ……14分

即． ……15分

20．（1）即，又，2分

所以，從而的取值范圍是． ……5分

（2），令，則，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，8分

由解得，所以當(dāng)時，函數(shù)的最小值是； ……11分

下面求當(dāng)時，函數(shù)的最小值．

當(dāng)時，，函數(shù)在上為減函數(shù)．所以函數(shù)的最小值為．

[當(dāng)時，函數(shù)在上為減函數(shù)的證明：任取，，因為，，所以，，由單調(diào)性的定義函數(shù)在上為減函數(shù)．]

于是，當(dāng)時，函數(shù)的最小值是；當(dāng)時，函數(shù)的最小值． ……15分

21．（1）由解得；由解得．

由點斜式寫出兩條直線的方程，，

所以直線AB的斜率為． ……4分

（2）推廣的評分要求分三層

一層:點P到一般或斜率到一般,或拋物線到一般（3分，問題1分、解答2分）

例：1．已知是拋物線上的相異兩點．設(shè)過點且斜率為-1的直線，與過點且斜率為1的直線相交于拋物線上的一定點P，求直線AB的斜率；

2．已知是拋物線上的相異兩點．設(shè)過點且斜率為-k 1的直線，與過點且斜率為k的直線相交于拋物線上的一點P（4，4），求直線AB的斜率；

3．已知是拋物線上的相異兩點．設(shè)過點且斜率為-1的直線，與過點且斜率為1的直線相交于拋物線上的一定點P，求直線AB的斜率； AB的斜率的值．

二層:兩個一般或推廣到其它曲線（4分，問題與解答各占2分）

例：4．已知點R是拋物線上的定點．過點P作斜率分別為、的兩條直線，分別交拋物線于A、B兩點，試計算直線AB的斜率．

三層:滿分（對拋物線，橢圓，雙曲線或?qū)λ袌A錐曲線成立的想法．）（7分，問題3分、解答4分）

例如：5.已知拋物線上有一定點P，過點P作斜率分別為、的兩條直線，分別交拋物線于A、B兩點，試計算直線AB的斜率．

過點P（），斜率互為相反數(shù)的直線可設(shè)為，，其中。

由得，所以

同理，把上式中換成得，所以

當(dāng)P為原點時直線AB的斜率不存在，當(dāng)P不為原點時直線AB的斜率為。

（3）（理）點，設(shè)，則．

設(shè)線段的中點是，斜率為，則=．12分

所以線段的垂直平分線的方程為，

又點在直線上，所以，而，于是． ……13分

(斜率，則--------------------------------13分)

線段所在直線的方程為， ……14分

代入，整理得 ……15分

，。設(shè)線段長為，則

……16分

因為，所以 ……18分

即：．（）

（文）設(shè)，則． ……13分

設(shè)線段的中點是，斜率為，則=，……15分

線段的垂直平分線的方程為， ……17分

又點在直線上，所以，

而，于是．故線段AB中點的橫坐標(biāo)為． ……18分

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