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(本題滿分15分)
已知偶函數滿足：當時，，當時，
(1) 求當時，的表達式；
(2) 若直線與函數的圖象恰好有兩個公共點，求實數的取值范圍。
(3) 試討論當實數滿足什么條件時，函數有4個零點且這4個零點從小到大依次成等差數列。

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說明

    1. 本解答列出試題的一種或幾種解法，如果考生的解法與所列解法不同,可參照解答中評分標準的精神進行評分.

    2. 評閱試卷，應堅持每題評閱到底，不要因為考生的解答中出現錯誤而中斷對該題的評閱. 當考生的解答在某一步出現錯誤，影響了后繼部分，但該步以后的解答未改變這一題的內容和難度時，可視影響程度決定后面部分的給分，這時原則上不應超過后面部分應給分數之半，如果有較嚴重的概念性錯誤，就不給分.

    3. 第17題至第21題中右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的該題累加分數.

    4. 給分或扣分均以1分為單位.

答案及評分標準

1．；   2．；   3．；   4．；   5．（理）元；（文）0.7；

6．（理）； （文）200赫茲；   7．（理）5；  （文）p=4．

8．（理）； （文）

9．；    10．（理）；  （文）方程為．

11．（理）；  （文）；    12．12．

13――16：A；  C ；  C；  理B文A

17．設熊貓居室的總面積為平方米，由題意得：．… 6分

解法1：，因為，而當時，取得最大值75． 10分

所以當熊貓居室的寬為5米時，它的面積最大，最大值為75平方米．      …… 12分

解法2：=75，當且僅當，即時，取得最大值75．                        …… 10分

所以當熊貓居室的寬為5米時，它的面積最大，最大值為75平方米．      …… 12分

18．理：如圖，建立空間直角坐標系，可得有關點的坐標為、、、、、．                                  ……2分

設平面的法向量為，則，．

因為，，                          ……3分

，，

所以解得，取，得平面一個法向量，且．                                                     ……5分

（1）在平面取一點，可得，于是頂點到平面的距離，所以頂點到平面的距離為，         ……8分

（2）因為平面的一個法向量為，設與的夾角為a，則

，                                        ……12分

結合圖形可判斷得二面角是一個銳角，它的大小為．……14分

文：（1）圓錐底面積為 cm²，                                        ……1分

設圓錐高為cm，由體積，                               ……5分

由cm³得cm；                                         ……8分

（2）母線長cm，                                             ……9分

設底面周長為，則該圓錐的側面積=，                          ……12分

所以該圓錐的側面積=cm²．                                     ……14分

19．（理）（1）；                                          ……3分

（2）當時，（）

， ……6分

所以，（）．                                      ……8分

（3）與（2）同理可求得：，                       ……10分

設=，

則，（用等比數列前n項和公式的推導方法），相減得

，所以

．                          ……14分

（文）（1）設數列前項和為，則．     ……3分

（2）公比，所以由無窮等比數列各項的和公式得：

數列各項的和為=1．                                     ……7分

（3）設數列的前項和為，當為奇數時，=

；                                           ……11分

當為偶數時，=．    ……14分

即．                   ……15分

20．（1）即，又，2分

所以，從而的取值范圍是．      ……5分

（2），令，則，因為，所以，當且僅當時，等號成立，8分

由解得，所以當時，函數的最小值是；                                             ……11分

下面求當時，函數的最小值．

當時，，函數在上為減函數．所以函數的最小值為．

[當時，函數在上為減函數的證明：任取，，因為，，所以，，由單調性的定義函數在上為減函數．]

于是，當時，函數的最小值是；當時，函數的最小值．                               ……15分

21．（1）由解得；由解得．

由點斜式寫出兩條直線的方程，，

所以直線AB的斜率為．                                   ……4分

（2）推廣的評分要求分三層

一層:點P到一般或斜率到一般,或拋物線到一般（3分，問題1分、解答2分）

例：1．已知是拋物線上的相異兩點．設過點且斜率為-1的直線，與過點且斜率為1的直線相交于拋物線上的一定點P，求直線AB的斜率；

2．已知是拋物線上的相異兩點．設過點且斜率為-k 1的直線，與過點且斜率為k的直線相交于拋物線上的一點P（4，4），求直線AB的斜率；

3．已知是拋物線上的相異兩點．設過點且斜率為-1的直線，與過點且斜率為1的直線相交于拋物線上的一定點P，求直線AB的斜率； AB的斜率的值．

二層:兩個一般或推廣到其它曲線（4分，問題與解答各占2分）

例：4．已知點R是拋物線上的定點．過點P作斜率分別為、的兩條直線，分別交拋物線于A、B兩點，試計算直線AB的斜率．

三層:滿分（對拋物線，橢圓，雙曲線或對所有圓錐曲線成立的想法．）（7分，問題3分、解答4分）

例如：5.已知拋物線上有一定點P，過點P作斜率分別為、的兩條直線，分別交拋物線于A、B兩點，試計算直線AB的斜率．

過點P（），斜率互為相反數的直線可設為，，其中。

 由得，所以

同理，把上式中換成得，所以

當P為原點時直線AB的斜率不存在，當P不為原點時直線AB的斜率為。

（3）（理）點，設，則．

設線段的中點是，斜率為，則=．12分

所以線段的垂直平分線的方程為，

又點在直線上，所以，而，于是．                                                       ……13分

 (斜率，則--------------------------------13分)

線段所在直線的方程為，                  ……14分

代入，整理得               ……15分

，。設線段長為，則

=

                               ……16分

因為，所以                ……18分

即：．（）   

（文）設，則．               ……13分

設線段的中點是，斜率為，則=，……15分

線段的垂直平分線的方程為，             ……17分

又點在直線上，所以，

而，于是．故線段AB中點的橫坐標為．   ……18分

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