2005年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)[必修+選修Ⅱ]

一.選擇題(每小題5分,共60分)

1.函數(shù)f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是:

A.        B.       C.      D. 2

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2.正方體ABCD―A1B1C1D1中,P、Q、R分別是AB、AD、B1C1的中點(diǎn),那么正方體的過P、Q、R的截面圖形是:

A.三角形      B. 四邊形      C. 五邊形      D. 六邊形

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3.函數(shù)y= (x≤0)的反函數(shù)是:

A. y= (x≥?1)     B. y= ? (x≥?1)    

C. y= (x≥0)       D. y= ? (x≥0)

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4.已知函數(shù)y=tanωx在(-,)內(nèi)是減函數(shù),則:

A. 0<ω≤1   B. -1≤ω<0    C. ω≥1     D. ω≤-1

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5.設(shè)a、b、c、d∈R,若為實(shí)數(shù),則:

A. bc+ad≠0        B. bc-ad≠0        C. bc-ad=0        D. bc+ad=0

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6. 雙曲線的焦點(diǎn)是F1、F2,點(diǎn)M在雙曲線上且MF1⊥x軸,則到F1直線F2M的距離為:

A.      B.   C.     D.

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7.銳角三角形的內(nèi)角A、B滿足,則有:

A.sin2A-cosB=0    B. sin2A+cosB=0    C. sin2A-sinB=0   D. sin2A+sinB=0

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8.已知點(diǎn)A(, 1),B(0,0),C(, 0)。設(shè)∠BAC的一平分線AE與BC相交于E,那么有,其中λ等于:

A.2          B.           C. -3           D. -

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9.已知集合M={x|x2-3x-28≤0},N={x|x2-x-6>0},則M∩N為:

A. {x|-4≤x<-2或3<x≤7}    B. {x|-4<x≤-2或3≤x<7}

C. {x|x≤-2或x>3}          D. {x|x<-2或x≥3}

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10.點(diǎn)P在平面上作勻速直線運(yùn)動(dòng),速度向量V=(4,-3)(即點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方向與V相同,且每秒移動(dòng)的距離為|V|個(gè)單位),設(shè)開始時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-10,10),則5秒后點(diǎn)P的坐標(biāo)為:

A.( -2,4)    B.( -30,25)     C. (10, -5)    D. (5, -10)

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11、如果a1、a2、…、a8是各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列,公差d≠0則:

A.a1a8>a4a5    B. a1a8<a4a5     C. a1+a8>a4+a5   D. a1a8=a4a5

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12.將半徑都為1的4個(gè)鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里,這個(gè)正四面體的高的最小值是:

A.       B.       C.       D.

第Ⅱ卷

題號(hào)

 1

 2

 3

 4

 5

 6

 7

 8

 9

10

11

12

答案

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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二.填空題(每小題4分,共16分)

13. 圓心為(1,2)且與直線5x-12y-7=0相切的圓的方程為___________.

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14.設(shè)α是第四象限的角,若,則     

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15.在由數(shù)字0,1,2,3,4,5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中,不能被5整除的數(shù)共有___個(gè)。

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16.下面是關(guān)于三棱錐的四個(gè)命題:

①     底面是等邊三角形,側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐;

②     底面是等邊三角形,側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐;

③     底面是等邊三角形,側(cè)面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐;

④       側(cè)棱與底面所成的角都相等,且側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐。其中,真命題的編號(hào)是__________(寫出所有真命題的編號(hào))。

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三.解答題(本題有6小題,計(jì)74分)解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。

17.(本題12分)設(shè)函數(shù),求使的x的取值范圍。

 

 

 

 

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18.(本題12分)已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列,lga1、lga2、lga4成等差數(shù)列。又,n=1,2,3,…。(1)證明:{bn}為等比數(shù)列;  (2)如果無窮等比數(shù)列{bn}各項(xiàng)和S等于,求數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1和公差d.(注:無窮數(shù)列各項(xiàng)的和即當(dāng)n→∞時(shí)數(shù)列前n項(xiàng)和的極限)

 

 

 

 

 

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19、(本題12分) 甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)排球比賽,根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn),單局比賽甲隊(duì)勝乙隊(duì)的概率為0.6。本場(chǎng)比賽采用五局三勝制,即先勝三局的隊(duì)獲勝,比賽結(jié)束。設(shè)各局比賽相互間沒有影響,令ξ為本場(chǎng)比賽的局?jǐn)?shù),求ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望。(精確到0.0001)

 

 

 

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20.(本題12分)如圖,四棱錐P―ABCD中,底面ABCD為矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD,E、F分別為CD、PB的中點(diǎn)。(1)求證:EF⊥平面PAB;(2)設(shè)AB=BC,求AC與平面AEF所成的角的大小。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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21.(本題14分) P、Q、M、N四點(diǎn)都在橢圓上,F為橢圓在y軸正半軸上的焦點(diǎn)。已知與共線,與共線,且.=0,求四邊形PMQN的面積的最小值和最大值。

 

 

 

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22.(本題12分)

已知a≥0,函數(shù)f(x)=(x2-2ax)ex

(1)當(dāng)x為何值時(shí),f(x)取得最小值?證明你的結(jié)論;(2)設(shè)f(x)在[-1,1]上是單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

試題詳情

(吉林、黑龍江、廣西)

一、選擇題

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

D

A

B

C

C

A

D

A

C

B

C

 

二、填空

13 (x-1)2+(y-2)2=4;      14、- ; 15、 384;16、①②③④

三、解答題:

17、本小題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、不等式性質(zhì)和解法,考查分析問題的能力和運(yùn)算能力

解:∵f (x)=2|x+1|-|x-1|≥2=, 即|x+1|-|x-1|≥.

當(dāng)x≤ -1時(shí),原不等式化為:-2≥(舍);

當(dāng)-1<x≤ 1時(shí),原不等式化為:2x≥ ∴x≥.

∴此時(shí),≤ x≤ 1;

當(dāng)x>1時(shí), 原不等式化為:2≥,

此時(shí),x>1.

故原不等式的解集為:{x|x≥ }.

 

18、本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本知識(shí)以及運(yùn)用這些知識(shí)的能力

⑴證明:設(shè){an}中首項(xiàng)為a1,公差為d.

∵lga1,lga2,lga4成等差數(shù)列  ∴2lga2=lga1?lga4   ∴a22=a1?a4.

即(a1+d)2=a1(a1+3d)   ∴d=0或d=a1.

當(dāng)d=0時(shí), an=a1, bn=, ∴,∴為等比數(shù)列;

當(dāng)d=a1時(shí), an=na1 ,bn=,∴,∴為等比數(shù)列.

綜上可知為等比數(shù)列.

⑵∵無窮等比數(shù)列{bn }各項(xiàng)的和

∴|q|<1, 由⑴知,q=, d=a1 . bn=

∴, ∴a1=3.

∴.

 

19、本小題考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念,考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力

解:ξ的所有取值為3,4,5

P(ξ=3)=;

P(ξ=4)=;

P(ξ=5)=.

ξ

3

4

5

P

0.28

0.3744

0.3466

∴ξ的分布列為:

 

 

∴Eξ=3×0.28+4×0.3744+5×0.3456=0.84+1.4976+1.728=4.0656.

20、本小題主要考查直線與平面垂直、直線與平面所成角的有關(guān)知識(shí)、及思維能力和空間想象能力,考查應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力

解:方法一:

⑴取PA中點(diǎn)G, 連結(jié)FG, DG.

 

.

⑵設(shè)AC, BD交于O,連結(jié)FO.

.

設(shè)BC=a, 則AB=a, ∴PA=a, DG=a=EF, ∴PB=2a, AF=a.

設(shè)C到平面AEF的距離為h.

∵VC-AEF=VF-ACE, ∴. 即  ∴. ∴AC與平面AEF所成角的正弦值為.

即AC與平面AEF所成角為.

 

21、本小題主要考查橢圓和直線的方程與性質(zhì),兩條直線垂直的條件、兩點(diǎn)間的距離、不等式的性質(zhì)等基本知識(shí)及綜合分析能力

解:∵. 即.

當(dāng)MN或PQ中有一條直線垂直于x軸時(shí),另一條直線必垂直于y軸. 不妨設(shè)MN⊥y軸,則PQ⊥x軸.

∵F(0, 1) ∴MN的方程為:y=1,PQ的方程為:x=0分別代入橢圓中得:|MN|=, |PQ|=2.

∴S四邊形PMQN=|MN|?|PQ|=××2=2.

當(dāng)MN,PQ都不與坐標(biāo)軸垂直時(shí),設(shè)MN的方程為y=kx+1 (k≠0),代入橢圓中得:(k2+2)x2+2kx-1=0,  ∴x1+x2=, x1?x2=.

同理可得:.

∴S四邊形PMQN=|MN|?|PQ|==

(當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),取等號(hào)).

又S四邊形PMQN =,∴此時(shí), S四邊形PMQN.

綜上可知:(S四邊形PMQN )max=2,  (S四邊形PMQN )min=.

 

22、本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運(yùn)算能力

解:⑴令=0  即[x2-2(a-1)x-2a]ex=0  ∴x2-2(a-1)x-2a=0

∵△=[2(a-1)]2+8a=4(a2+1)>0  ∴x1=, x2=

又∵當(dāng)x∈(-∞, )時(shí),>0;

當(dāng)x∈(, )時(shí),<0;

當(dāng)x∈(, +∞)時(shí),>0.

∴x1, x2分別為f (x)的極大值與極小值點(diǎn).

又∵;當(dāng)時(shí).

而f ()=<0.

∴當(dāng)x=時(shí),f (x)取得最小值.

⑵f (x)在[-1, 1]上單調(diào),則≥ 0(或≤ 0)在[-1, 1]上恒成立.

而=[x2-2(a-1)x-2a]ex, 令g(x)= x2-2(a-1)x-2a=[x-(a-1)]2-(a2+1).

∴≥ 0(或≤ 0) 即g(x) ≥ 0(或≤ 0).

當(dāng)g(x) ≥ 0在[-1, 1]上恒成立時(shí)有:

①當(dāng)-1≤ a-1 ≤1即0≤ a ≤2時(shí), g(x)min=g(a-1)= -(a2+1) ≥ 0(舍);

②當(dāng)a-1>1即a ≥ 2時(shí), g(x)min=g(1)= 3-4a ≥ 0 ∴a≤(舍).

當(dāng)g(x) ≤ 0在[-1, 1]上恒成立時(shí),有:

①當(dāng)-1≤ a-1 ≤ 0即0≤ a ≤ 1時(shí), g(x)max=g(1)=3-4a ≤ 0, ∴≤ a ≤ 1;

②當(dāng)0< a-1 ≤ 1即1< a ≤ 2時(shí), g(x)max=g(-1)= -1 ≤ 0, ∴1< a ≤ 2;

③當(dāng)1< a-1即a > 2時(shí), g(x)max=g(-1)= -1 ≤ 0, ∴a >2.

故a∈[,+∞].

 

 

 


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