20．如圖.四棱錐P―ABCD中.底面ABCD為矩形.PD⊥底面ABCD.AD=PD.E.F分別為CD.PB的中點.(1)求證:EF⊥平面PAB,(2)設AB=BC.求AC與平面AEF所成的角的大小. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

２１.(本題12分)

如圖，已知A、B、C是長軸長為4   的橢圓上的三點，點A是長軸的右頂點，BC過橢圓中心O，且·=0，，

（1）求橢圓的方程；

（2）若過C關于y軸對稱的點D作橢圓的切線DE，則AB與DE有什么位置關系？證明你的結(jié)論.

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(本題12分)如圖，已知AD為⊙O的直徑，直線BA與⊙O相切于點A，直線OB與弦AC垂直并相交于點G.

求證：BA·DC＝GC·AD.

 

 

 

 

 

 

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(本題12分)如圖所示，甲船以每小時海里的速度向正
北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當甲船位于處時，
乙船位于甲船的南偏西方向的處，此時兩船相距20海里.當
甲船航行20分鐘到達處時，乙船航行到甲船的南偏西方向
的處，此時兩船相距海里，求：乙船每小時航行多少海
里？

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(本題12分)

如圖,正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長是2, 側(cè)棱長是, D為AC的中點.

(1)求證: B1C∥平面A1BD

(2)求二面角A1－BD－A的大小.

(3)求直線AB1與平面A1BD所成角的大小.

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(本題12分)

如圖，ABCD是平行四邊形，

（1）求證：

（2）求證：

 

 

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（吉林、黑龍江、廣西）

一、選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

D

A

B

C

C

A

D

A

C

B

C

 

二、填空

13 (x-1)2+(y-2)2=4；      14、- ； 15、 384；16、①②③④

三、解答題：

17、本小題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、不等式性質(zhì)和解法，考查分析問題的能力和運算能力

解：∵f (x)=2|x+1|-|x-1|≥2=, 即|x+1|-|x-1|≥.

當x≤ -1時，原不等式化為：-2≥(舍)；

當-1<x≤ 1時，原不等式化為：2x≥ ∴x≥.

∴此時，≤ x≤ 1；

當x>1時, 原不等式化為：2≥,

此時,x>1.

故原不等式的解集為：{x|x≥ }.

 

18、本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本知識以及運用這些知識的能力

⑴證明：設{an}中首項為a1，公差為d.

∵lga1,lga2,lga4成等差數(shù)列  ∴2lga2=lga1?lga4   ∴a22=a1?a4.

即(a1+d)2=a1(a1+3d)   ∴d=0或d=a1.

當d=0時, an=a1, bn=, ∴，∴為等比數(shù)列；

當d=a1時, an=na1 ,bn=，∴，∴為等比數(shù)列.

綜上可知為等比數(shù)列.

⑵∵無窮等比數(shù)列{bn }各項的和

∴|q|<1, 由⑴知，q=, d=a1 . bn=

∴, ∴a1=3.

∴.

 

19、本小題考查離散型隨機變量分布列和數(shù)學期望等概念，考查運用概率知識解決實際問題的能力

解：ξ的所有取值為3,4,5

P(ξ=3)=；

P(ξ=4)=；

P(ξ=5)=.

ξ

3

4

5

P

0.28

0.3744

0.3466

∴ξ的分布列為：

 

 

∴Eξ=3×0.28+4×0.3744+5×0.3456=0.84+1.4976+1.728=4.0656.

20、本小題主要考查直線與平面垂直、直線與平面所成角的有關知識、及思維能力和空間想象能力，考查應用向量知識解決數(shù)學問題的能力

解：方法一：

⑴取PA中點G, 連結(jié)FG, DG.

 

.

⑵設AC, BD交于O，連結(jié)FO.

.

設BC=a, 則AB=a, ∴PA=a, DG=a=EF, ∴PB=2a, AF=a.

設C到平面AEF的距離為h.

∵VC-AEF=VF-ACE, ∴. 即  ∴. ∴AC與平面AEF所成角的正弦值為.

即AC與平面AEF所成角為.

 

21、本小題主要考查橢圓和直線的方程與性質(zhì)，兩條直線垂直的條件、兩點間的距離、不等式的性質(zhì)等基本知識及綜合分析能力

解：∵. 即.

當MN或PQ中有一條直線垂直于x軸時，另一條直線必垂直于y軸. 不妨設MN⊥y軸，則PQ⊥x軸.

∵F(0, 1) ∴MN的方程為：y=1，PQ的方程為：x=0分別代入橢圓中得：|MN|=, |PQ|=2.

∴S四邊形PMQN=|MN|?|PQ|=××2=2.

當MN,PQ都不與坐標軸垂直時，設MN的方程為y=kx+1 (k≠0)，代入橢圓中得：(k2+2)x2+2kx-1=0,  ∴x1+x2=, x1?x2=.

∴

同理可得：.

∴S四邊形PMQN=|MN|?|PQ|==

(當且僅當即時，取等號).

又S四邊形PMQN =，∴此時, S四邊形PMQN.

綜上可知：(S四邊形PMQN )max=2,  (S四邊形PMQN )min=.

 

22、本小題主要考查導數(shù)的概念和計算，應用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運算能力

解：⑴令=0  即[x2-2(a-1)x-2a]ex=0  ∴x2-2(a-1)x-2a=0

∵△=[2(a-1)]2+8a=4(a2+1)>0  ∴x1=, x2=

又∵當x∈(-∞, )時，>0；

當x∈(, )時，<0；

當x∈(, +∞)時，>0.

∴x1, x2分別為f (x)的極大值與極小值點.

又∵；當時.

而f ()=<0.

∴當x=時，f (x)取得最小值.

⑵f (x)在[-1, 1]上單調(diào)，則≥ 0(或≤ 0)在[-1, 1]上恒成立.

而=[x2-2(a-1)x-2a]ex, 令g(x)= x2-2(a-1)x-2a=[x-(a-1)]2-(a2+1).

∴≥ 0(或≤ 0) 即g(x) ≥ 0(或≤ 0).

當g(x) ≥ 0在[-1, 1]上恒成立時有：

①當-1≤ a-1 ≤1即0≤ a ≤2時, g(x)min=g(a-1)= -(a2+1) ≥ 0(舍)；

②當a-1>1即a ≥ 2時, g(x)min=g(1)= 3-4a ≥ 0 ∴a≤(舍).

當g(x) ≤ 0在[-1, 1]上恒成立時，有：

①當-1≤ a-1 ≤ 0即0≤ a ≤ 1時, g(x)max=g(1)=3-4a ≤ 0, ∴≤ a ≤ 1；

②當0< a-1 ≤ 1即1< a ≤ 2時, g(x)max=g(-1)= -1 ≤ 0, ∴1< a ≤ 2；

③當1< a-1即a > 2時, g(x)max=g(-1)= -1 ≤ 0, ∴a >2.

故a∈[,+∞].

 

 

 


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