Question

7．如圖所示的直角坐標(biāo)系中，在直線x=-2l₀到y(tǒng)軸區(qū)域內(nèi)存在著兩個(gè)大小相等、方向相反的有界勻強(qiáng)電場(chǎng)，其中x軸上方的電場(chǎng)方向沿y軸負(fù)方向，x軸下方的電場(chǎng)方向沿y軸正方向．在電場(chǎng)左邊界上A（-2l₀，-l₀）到C（-2l₀，0）區(qū)域內(nèi)，連續(xù)分布著電量為+q、質(zhì)量為m的粒子．從某時(shí)刻起由A點(diǎn)到C點(diǎn)間的粒子，依次連續(xù)以相同的速度v₀沿x軸正方向射入電場(chǎng)．若從A點(diǎn)射入的粒子，恰好從y軸上的A′（0，l₀）沿x軸正方向射出電場(chǎng)，其軌跡如圖．不計(jì)粒子的重力及它們間的相互作用．
（1）求勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E；
（2）求在AC間還有哪些位置的粒子，通過(guò)電場(chǎng)后也能沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)？
（3）若以直線x=2l₀上的某點(diǎn)為圓心的圓形區(qū)域內(nèi)，分布著垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，使沿x軸正方向射出電場(chǎng)的粒子，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，都能通過(guò)直線x=2l₀與圓形磁場(chǎng)邊界的一個(gè)交點(diǎn)處，而便于被收集，則磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑是多大？相應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B是多大？

Answer 1

分析 （1）將帶電粒子的運(yùn)用沿水平和豎直方向正交分解，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向在x軸上下方都做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式分析；
（2）先畫出運(yùn)動(dòng)的一般軌跡，要使粒子通過(guò)電場(chǎng)后能沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，其第一次到達(dá)x軸的水平分位移的2n倍等于2l₀，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式分析即可；
（3）先畫出各個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后根據(jù)題意確定磁場(chǎng)范圍，最后根據(jù)洛倫茲力提供向心力求解磁感應(yīng)強(qiáng)度．

解答 解：（1）從A點(diǎn)射出的粒子，由A到A′的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為T，根據(jù)運(yùn)動(dòng)軌跡和對(duì)稱性可得
x軸方向  $2{l}_{0}^{\;}={v}_{0}^{\;}T$
y軸方向 $2{l}_{0}^{\;}=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}（\frac{T}{2}）_{\;}^{2}×2$
得：$E=\frac{2m{v}_{0}^{2}}{q{l}_{0}^{\;}}$
（2）設(shè)到C點(diǎn)距離為△y處射出的粒子通過(guò)電場(chǎng)后也沿x軸正方向，粒子第一次達(dá)x軸用時(shí)△t，水平位移為△x，則 
$△x={v}_{0}^{\;}△t$   
$△y=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}（2△t）_{\;}^{2}$
若滿足$2{l}_{0}^{\;}=n•2△x$，則從電場(chǎng)射出時(shí)的速度方向也將沿x軸正方向
解之得：$△y=\frac{1}{{n}_{\;}^{2}}\frac{1}{2}\frac{qE}{m}（\frac{{l}_{0}^{\;}}{{v}_{0}^{\;}}）_{\;}^{2}=\frac{1}{{n}_{\;}^{2}}{l}_{0}^{\;}$
即AC間y坐標(biāo)為$y=（-1）_{\;}^{n}\frac{1}{{n}_{\;}^{2}}{l}_{0}^{\;}$（n=1，2，3，…）
（3）當(dāng)n=1時(shí)，粒子射出的坐標(biāo)為${y}_{1}^{\;}={l}_{0}^{\;}$
當(dāng)n=2時(shí)，粒子射出的坐標(biāo)為${y}_{2}^{\;}=-\frac{1}{4}{l}_{0}^{\;}$
當(dāng)n≥3時(shí)，沿x軸正方向射出的粒子分布在y₁到y(tǒng)₂之間（如圖）y₁到y(tǒng)₂之間的距離為
L=y₁-y₂=$\frac{5}{4}{l}_{0}^{\;}$ 則磁場(chǎng)的最小半徑為 $R=\frac{L}{2}=\frac{5{l}_{0}^{\;}}{8}$
若使粒子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后匯聚于一點(diǎn)，粒子的運(yùn)動(dòng)半徑與磁場(chǎng)圓的半徑相等（如圖），（軌跡圓與磁場(chǎng)圓相交，四邊形PO₁QO₂為棱形）
 
由$q{v}_{0}^{\;}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$ 
得：$B=\frac{8m{v}_{0}^{\;}}{5q{l}_{0}^{\;}}$
答：（1）求勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E為$\frac{2m{v}_{0}^{2}}{q{l}_{0}^{\;}}$；
（2）在AC間的粒子位置滿足$y=（-1）_{\;}^{n}\frac{1}{{n}_{\;}^{2}}{l}_{0}^{\;}$（n=1、2、3…），通過(guò)電場(chǎng)后也能沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)
（3）若以直線x=2l₀上的某點(diǎn)為圓心的圓形區(qū)域內(nèi)，分布著垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，使沿x軸正方向射出電場(chǎng)的粒子，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，都能通過(guò)直線x=2l₀與圓形磁場(chǎng)邊界的一個(gè)交點(diǎn)處，而便于被收集，則磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑是$\frac{5}{8}{l}_{0}^{\;}$，相應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B是$\frac{8m{v}_{0}^{\;}}{5q{l}_{0}^{\;}}$

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是將粒子的運(yùn)動(dòng)沿著水平方向和豎直方向正交分解，然后根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式分析求解；解題過(guò)程中要畫出軌跡圖分析，特別是第三小題，要畫出準(zhǔn)確的圓軌跡圖分析才能有助與問(wèn)題的解決．