Question

14．如圖所示，質(zhì)量M=0.03kg的絕緣薄板靜止于傾角θ=37°的斜面底端，擋板PN垂直于PQ，斜面與薄板間的動摩擦因數(shù)μ₀=0.8，質(zhì)量m=0.01kg，帶電荷量q=+2.5×10^-3C可視為質(zhì)點的小物塊放在薄板的最上端，薄板和物塊間的動摩擦因數(shù)μ=0.5，所在空間加有方向垂直于斜面向下的勻強電場E，現(xiàn)對薄板施加一平行于斜面向上的拉力F=0.726N．當小物塊即將離開薄板時，立即將電場E方向改為豎直向上，同時在空間增加一個垂直紙面向外的足夠大的勻強磁場B=6.0T，并撤去外力F，此后小物塊剛好做半徑R=1m的勻速圓周運動．設(shè)最大靜摩擦力與滑動摩擦力相同，不考慮因空間電、磁場的改變而帶來的其它影響，斜面PQ和擋板PN均足夠長，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）小物塊剛離開薄板時的速度大��；
（2）薄板長度；
（3）小物塊第一次擊中擋板PN時，薄板下端距P點的距離．

Answer 1

分析 這是一個關(guān)于力學動力學問題與電磁學內(nèi)容的綜合，同時又涉及到連接體，要用隔離法分別對物體進行受力分析，用相應(yīng)的規(guī)律解決具體問題．
（1）由于知道物塊做勻速圓周運動的半徑，所以記得半徑公式$r=\frac{mv}{qB}$  （洛侖茲力提供向心力推出），很容易求出物塊離開薄板的速度．
（2）在拉力作用下，物塊和薄板均做勻加速直線運動，只是薄板的加速度大于物塊，所以薄板的位移大，當物塊離開時，兩者位移差就是薄板的長．
（3）物塊離開薄板，撤去拉力后，薄板向上做勻減速直線運動，可以求出向上運動到最高點的時間和位移，由于速度減為零后，Mgsinθ＜μ₀Mgcosθ，所以停在最高點，則物塊擊中PN時薄板下端離P點的距離就是薄板勻加速直線運動和勻減速直線運動位移的和．

解答 解（1）電場方向改為豎直向上時，小物塊在磁場中做勻速圓周運動，由此可知，電場力和重力平衡：
     qE=mg 
  解得：$E=\frac{mg}{q}=\frac{0.01×10}{2.5×1{0}^{-3}}V/m=40V/m$
  做勻速圓周運動時有：$qvB=\frac{mv2}{R}$
  所以$v=\frac{qBR}{m}=\frac{2.5×1{0}^{-3}×6×1}{0.01}m/s$=1.5m/s
（2）電場方向未改之前對小物塊由牛頓第二定律有：μ（mgcosθ+Eq）-mgsinθ=ma₁
  代入數(shù)據(jù)得：a₁=3m/s
  物塊從開始到離開薄板的時間：$t=\frac{v}{{a}_{1}}=\frac{1.5}{3}s=0.5s$
  對薄板由牛頓第二定律有：F-μ（mgcosθ+Eq）-μ₀（mgcosθ+Eq+Mgcosθ）=Ma₂
  代入數(shù)據(jù)得：${a}_{2}=4m/{s}^{2}$
  當物塊滑離薄板時有：$L=\frac{1}{2}（{a}_{2}-{a}_{1}）{t}^{2}$=$\frac{1}{2}（4-3）×0．{5}^{2}m$=0.125m
（3）物塊在時間t=0.5s內(nèi)的位移：${s}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}=\frac{1}{2}×3×0．{5}^{2}m=0.375m$
  物塊的運動軌跡如圖所示，由幾何關(guān)系知：$α=arcsin\frac{{s}_{1}}{R}=arcsin\frac{0.375}{1}=22°$
  物塊做勻速圓周運動的時間：${t}_{1}=\frac{180°+α}{360°}×\frac{2×π×R}{v}=\frac{180°+22°}{360°}×\frac{2×3.14×1}{1.5}s$=2.35s  
  又因為在t=0.5s內(nèi)薄板薄板的位移，即薄板下端離PN的距離：s₂=L+s₁=0.5m
  薄板此時的速度：v₂=a₂t=4×0.5m/s=2m/s
  撤去外力后薄板向上做勻減速直線運動，加速度：${a}_{2}′=\frac{Mgsinθ+{μ}_{0}Mgcosθ}{M}=12.4m/{s}^{2}$  
  薄板由于慣性繼續(xù)向上運動到速度為零的時間：${t}_{2}=\frac{{v}_{2}}{{a}_{2}′}=\frac{2}{12.4}s=0.16s$
  位移：${s}_{2}′=\frac{{{v}_{2}}^{2}}{2{a}_{2}′}=\frac{{2}^{2}}{2×12.4}m=0.16m$    
  因為有Mgsinθ＜μ₀Mgcosθ，所以薄板到最高點后停在該處．
  由于t₂＜t₁，所以物塊擊中PN時薄板已經(jīng)停在最高點處了，則擊中薄板時薄板下端離P點的距離為：s=s₂+s₂′=0.5m+0.16m=0.66m
答：（1）小物塊剛離開薄板時的速度大小為1.5m/s．
（2）薄板長度為0.125m．
（3）小物塊第一次擊中擋板PN時，薄板下端距P點的距離為0.66m．

點評 本題的靚點在于第三問，薄板的運動是先在拉力作用下做勻加速直線運動后由于慣性做勻減速直線運動，速度為零時停在最高點，而物塊在薄板做勻減速直線運動時做勻速圓周運動擊中PN，所以先要比較兩者的時間，由計算知道是薄板先停物塊后擊中，這樣擊中PN時薄板下端離P點的距離就是薄板兩種運動的位移之和．